题目内容

给出下列四个命题：
（1）函数y=3sin
x
2
+4cos
x
2
的定义域为[0，2π]，则值域为[-5，5]；
（2）三角方程tan（5x+
2π
9
）=
2
在[0，π]内有5个解；
（3）对任意的α∈R，三角公式sin2α=
2tanα
1+tan2α
是一定成立的；
（4）函数y=cosx与y=arccosx（|x|≤1）互为反函数．
其中正确的个数是（　　）
分析：（1）利用辅助角公式求函数的周期即可．（2）利用正切函数的周期判断．（3）利用正切函数的定义域判断．（4）关键反函数的定义进行判断．
解答：解：（1）由数y=3sin
x
2
+4cos
x
2
得y=5sin（
x
2
+θ），θ为参数，则函数的周期T=
2π
1
2
=4π，
因为定义域为[0，2π]，为半个周期，所以最大值5和最小值-5在[0，2π]内不能同时取得，所以（1）错误．
（2）因为正切函数的周期为T=
π
5
，所以[0，π]为5个周期长度．所以又因为正切函数在每个周期内都是单调递增函数，所以tan（5x+
2π
9
）=
2
在[0，π]内有5个解，所以（2）正确．
（3）因为正切函数的定义域为{α|α≠kπ+
π
2
}，所以（3）不一定恒成立．，所以（3）错误．
（4）因为y=cosx在定义域内不是单调函数，所以在定义域内，函数y=cosx内没有反函数，所以（4）错误．
故选B．
点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，要求熟练掌握正弦函数，余弦函数和正切函数的性质．
练习册系列答案
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12、已知a、b是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：
①若a⊥α，a⊥β，则α∥β；
②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；
③若α∥β，a?α，b?β，则a∥b；
④若α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b，则a∥b．
其中正确命题的序号有
①④
．
给出下列四个命题：
①函数y=
1
x
的单调减区间是（-∞，0）∪（0，+∞）；
②函数y=x2-4x+6，当x∈[1，4]时，函数的值域为[3，6]；
③函数y=3（x-1）2的图象可由y=3x2的图象向右平移1个单位得到；
④若函数f（x）的定义域为[0，2]，则函数f（2x）的定义域为[0，1]；
⑤若A={s|s=x2+1}，B={y|x=
y-1
}，则A∩B=A．
其中正确命题的序号是
③④⑤
③④⑤
．（填上所有正确命题的序号）
将边长为2，锐角为60°的菱形ABCD沿较短对角线BD折成二面角A-BD-C，点E，F分别为AC，BD的中点，给出下列四个命题：
①EF∥AB；②直线EF是异面直线AC与BD的公垂线；③当二面角A-BD-C是直二面角时，AC与BD间的距离为
6
2
；④AC垂直于截面BDE．
其中正确的是
②③④
②③④
（将正确命题的序号全填上）．
给出下列四个命题，其中正确的命题的个数为（　　）
①命题“?x0∈R，2x0≤0”的否定是“?x∈R，2x＞0”；
②log2sin
π
12
+log2cos
π
12
=-2；
③函数y=tan
x
2
的对称中心为（kπ，0），k∈Z；
④[cos（3-2x）]′=-2sin（3-2x）
给出下列四个命题：
①函数y=ax（a＞0且a≠1）与函数y=logaax（a＞0且a≠1）的定义域相同；
②函数y=x3与y=3x的值域相同；
③函数y=
1
2
+
1
2x-1
与y=
(1+2x)2
x•2x
都是奇函数；
④函数y=（x-1）2与y=2x-1在区间[0，+∞）上都是增函数，其中正确命题的序号是（　　）

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