题目内容
已知|
|=
，|
|=1，
与
的夹角为45°，求使向量（2
+λ
）与（λ
-3
）的夹角是锐角的λ的取值范围．
| a |
| 2 |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
分析：由题意可得
•
=
×1×cos45°=1，再根据
≠
，且（2
+λ
）•（λ
-3
）=2λ
2+（λ2-6）
•
-3λ
2＞0，求得λ的取值范围．
| a |
| b |
| 2 |
| 2 |
| λ |
| λ |
| -3 |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| a |
| b |
| b |
解答：解：由题意可得，
•
=
×1×cos45°=1，
再由向量（2
+λ
）与（λ
-3
）的夹角是锐角，
可得（2
+λ
）与（λ
-3
）不共线且（2
+λ
）•（λ
-3
）＞0．
故有
≠
，且（2
+λ
）•（λ
-3
）=2λ
2+（λ2-6）
•
-3λ
2＞0，
即 4λ+λ2-6-3λ＞0，且λ2≠-6．
解得 λ＞2，或λ＜-3，
故λ的取值范围为 {λ|λ＞2，或λ＜-3}．
| a |
| b |
| 2 |
再由向量（2
| a |
| b |
| a |
| b |
可得（2
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
故有
| 2 |
| λ |
| λ |
| -3 |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| a |
| b |
| b |
即 4λ+λ2-6-3λ＞0，且λ2≠-6．
解得 λ＞2，或λ＜-3，
故λ的取值范围为 {λ|λ＞2，或λ＜-3}．
点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，一元二次不等式的解法，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知|
|=2，|
|=3，|
-
|=
，则向量
与向量
的夹角是（ ）
| a |
| b |
| a |
| b |
| 7 |
| a |
| b |
A、
| ||
B、
| ||
C、
| ||
D、
|