题目内容

12.已知F1,F2是双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1({a>0,b>0})$的两个焦点,点P是该双曲线和圆x2+y2=a2+b2的一个交点,若sin∠PF1F2=3sin∠PF2F1,则该双曲线的离心率是(  )
A.$\frac{{\sqrt{10}}}{4}$B.$\frac{{\sqrt{10}}}{2}$C.$\sqrt{10}$D.$\sqrt{5}$

分析 由已知条件推导出△PF1F2中,|OP|=c=$\frac{1}{2}$|F1F2|,∠F1PF2=90°,|PF1|=a,|PF2|=3a,由此能求出双曲线的离心率.

解答 解:∵F1,F2是双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1({a>0,b>0})$的两个焦点,
∴双曲线的焦点坐标为F1(-c,0)、F2(c,0),
∵圆方程为x2+y2=a2+b2,即x2+y2=c2
∴该半径等于c,且圆经过F1和F2
∵点P是双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1({a>0,b>0})$与圆x2+y2=a2+b2的交点,
∴△PF1F2中,|OP|=c=$\frac{1}{2}$|F1F2|,∴∠F1PF2=90°,
∵sin∠PF1F2=2sin∠PF2F1
∴|PF2|=3|PF1|.
设|PF1|=x,则|PF2|=3x,
由双曲线性质得3x-x=2x=2a,
∴|PF1|=a,则|PF2|=3a,
由勾股定理得(a)2+(3a)2=(2c)2
解得c=$\frac{\sqrt{10}}{2}$a,
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$.
故选:B.

点评 本题给出双曲线与圆相交,在已知焦点三角形中的角度关系下求双曲线的离心率,着重考查了双曲线的标准方程与简单性质的知识,属于基础题.

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