Question

在平面直角坐标系xoy中，设点F(

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，0)，直线l：x=-

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，点P在直线l上移动，R是线段PF与y轴的交点，RQ⊥FP，PQ⊥l．
（ I） 求动点Q的轨迹的方程C；
（ II） 设圆M过A（1，0），且圆心M在曲线C上，设圆M过A（1，0），且圆心M在曲线C上，TS是圆M在y轴上截得的弦，当M运动时弦长|TS|是否为定值？请说明理由．

Answer 1

分析：（ I） 判断动点Q的轨迹E是以F为焦点，l为准线的抛物线，即可得到抛物线的方程；
（ II）M到y轴的距离为d=|x₀|=x₀，求出圆的半径，即可表示出弦长|TS|，利用M（x₀，y₀）∈C，即可得到结论．

解答：解：（ I） 依题意知，直线l的方程为：x=-

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．…（2分）
且F的坐标为（

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，0），
∵点R是线段FP的中点，且RQ⊥FP，∴RQ是线段FP的垂直平分线．…（4分）
∴|PQ|是点Q到直线l的距离．
∵点Q在线段FP的垂直平分线，∴|PQ|=|QF|．…（6分）
故动点Q的轨迹E是以F为焦点，l为准线的抛物线，
其方程为：y²=2x（x＞0）．…（8分）
（ II）?M（x₀，y₀）∈C，M到y轴的距离为d=|x₀|=x₀，…（9分）
圆的半径r=|MA|=

(x0-1)2+y02

，…（10分）
则|TS|=2

r2-d2

=2

y 2 0 -2x0+1

，M（x₀，y₀）∈C…（12分）
由（ I）知y02=2x0，
所以|TS|=2

y 2 0 -2x0+1

=2，是定值．…（14分）

点评：本题考查抛物线的定义，考查轨迹方程，考查圆中弦长的求解，正确运用抛物线的定义是关键．