题目内容

在平面直角坐标系xoy中,设点F(
1
2
,0)
,直线l:x=-
1
2
,点P在直线l上移动,R是线段PF与y轴的交点,RQ⊥FP,PQ⊥l.
( I) 求动点Q的轨迹的方程C;
( II) 设圆M过A(1,0),且圆心M在曲线C上,设圆M过A(1,0),且圆心M在曲线C上,TS是圆M在y轴上截得的弦,当M运动时弦长|TS|是否为定值?请说明理由.
分析:( I) 判断动点Q的轨迹E是以F为焦点,l为准线的抛物线,即可得到抛物线的方程;
( II)M到y轴的距离为d=|x0|=x0,求出圆的半径,即可表示出弦长|TS|,利用M(x0,y0)∈C,即可得到结论.
解答:解:( I) 依题意知,直线l的方程为:x=-
1
2
.…(2分)
且F的坐标为(
1
2
,0),
∵点R是线段FP的中点,且RQ⊥FP,∴RQ是线段FP的垂直平分线.…(4分)
∴|PQ|是点Q到直线l的距离.
∵点Q在线段FP的垂直平分线,∴|PQ|=|QF|.…(6分)
故动点Q的轨迹E是以F为焦点,l为准线的抛物线,
其方程为:y2=2x(x>0).…(8分)
( II)?M(x0,y0)∈C,M到y轴的距离为d=|x0|=x0,…(9分)
圆的半径r=|MA|=
(x0-1)2+y02
,…(10分)
|TS|=2
r2-d2
=2
y
2
0
-2x0+1
,M(x0,y0)∈C…(12分)
由( I)知y02=2x0
所以|TS|=2
y
2
0
-2x0+1
=2
,是定值.…(14分)
点评:本题考查抛物线的定义,考查轨迹方程,考查圆中弦长的求解,正确运用抛物线的定义是关键.
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