题目内容
已知f(x)=ax-b |
x |
a |
e |
(1)求a与b的关系;
(2)若f(x)在其定义域内为增函数,求a的取值范围;
(3)证明:
ln2 |
22 |
ln3 |
32 |
lnn |
n2 |
2n2-n-1 |
4(n+1) |
(提示:需要时可利用恒等式:lnx≤x-1)
分析:(1)直接利用 f(e)=be-
-2,可得 ae-
-2=be-
-2,化简可得a与b的关系.
(2)求出f′(x)=
,令h(x)=ax2-2x+a.要使g(x)在(0,+∞)为增函数,h(x)≥0恒成立,即a≥
在(0,+∞)上恒成立,而由基本不等式可得
的最大值等于1,所以a≥1.
(3)先证:lnx-x+1≤0 (x>0),可得
≤1-
,令x=n2,
≤
(1-
),
可得
+
+…+
≤
(1-
+1-
+…+1-
)<
[n-1-(
+
+… +
)]
=
[n-1-(
-
)],化简即得不等式的右边.
a |
e |
b |
e |
a |
e |
(2)求出f′(x)=
ax2-2x+a |
x2 |
2x |
x2+1 |
2x |
x2+1 |
(3)先证:lnx-x+1≤0 (x>0),可得
lnx |
x |
1 |
x |
lnn |
n2 |
1 |
2 |
1 |
n2 |
可得
ln2 |
22 |
ln3 |
32 |
lnn |
n2 |
1 |
2 |
1 |
22 |
1 |
32 |
1 |
n2 |
1 |
2 |
1 |
2×3 |
1 |
3×4 |
1 |
n(n+1) |
=
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
n+1 |
解答:解:(1)由题意f(x)=ax-
-2lnx,f(e)=be-
-2,∴ae-
-2=be-
-2,
∴(a-b)(e+
)=0,∴a=b.
(2)由(1)知:f(x)=ax-
-2lnx,(x>0),∴f′(x)=a+
-
=
,
令h(x)=ax2-2x+a.要使g(x)在(0,+∞)为增函数,只需h(x)在(0,+∞)满足:h(x)≥0恒成立.
即ax2-2x+a≥0,a≥
在(0,+∞)上恒成立.
又∵0<
=
≤1,x>0,所以a≥1.
(3)证明:先证:lnx-x+1≤0 (x>0),设K(x)=lnx-x+1,则K′(x)=
-1=
.
当x∈(0,1)时,k′(x)>0,∴k(x)为单调递增函数;
当x∈(1,+∞)时,k′(x)<0,∴k(x)为单调递减函数;
∴x=1为k(x)的极大值点,∴k(x)≤k(1)=0. 即lnx-x+1≤0,∴lnx≤x-1.
由上知 lnx≤x-1,又x>0,∴
≤1-
.
∵n∈N+,n≥2,令x=n2,得
≤1-
,∴
≤
(1-
),
∴
+
+…+
≤
(1-
+1-
+…+1-
)
=
[n-1-(
+
+… +
)]<
[n-1-(
+
+… +
)]
=
[n-1-(
-
+
-
+…
-
)]=
[n-1-(
-
)]=
,
故要证的不等式成立.
b |
x |
a |
e |
b |
e |
a |
e |
∴(a-b)(e+
1 |
e |
(2)由(1)知:f(x)=ax-
b |
x |
a |
x2 |
2 |
x |
ax2-2x+a |
x2 |
令h(x)=ax2-2x+a.要使g(x)在(0,+∞)为增函数,只需h(x)在(0,+∞)满足:h(x)≥0恒成立.
即ax2-2x+a≥0,a≥
2x |
x2+1 |
又∵0<
2x |
x2+1 |
2 | ||
x+
|
(3)证明:先证:lnx-x+1≤0 (x>0),设K(x)=lnx-x+1,则K′(x)=
1 |
x |
1-x |
x |
当x∈(0,1)时,k′(x)>0,∴k(x)为单调递增函数;
当x∈(1,+∞)时,k′(x)<0,∴k(x)为单调递减函数;
∴x=1为k(x)的极大值点,∴k(x)≤k(1)=0. 即lnx-x+1≤0,∴lnx≤x-1.
由上知 lnx≤x-1,又x>0,∴
lnx |
x |
1 |
x |
∵n∈N+,n≥2,令x=n2,得
lnn2 |
n2 |
1 |
n2 |
lnn |
n2 |
1 |
2 |
1 |
n2 |
∴
ln2 |
22 |
ln3 |
32 |
lnn |
n2 |
1 |
2 |
1 |
22 |
1 |
32 |
1 |
n2 |
=
1 |
2 |
1 |
22 |
1 |
32 |
1 |
n2 |
1 |
2 |
1 |
2×3 |
1 |
3×4 |
1 |
n(n+1) |
=
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
3 |
1 |
3 |
1 |
4 |
1 |
n |
1 |
n+1 |
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
n+1 |
2n2-n-1 |
4(n+1) |
故要证的不等式成立.
点评:本题考查利用导数研究函数的单调性,用放缩法证明不等式,体现了转化的数学思想,其中,用放缩法证明不等式 是解题的难点.

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