题目内容

已知f(x)=ax-2
4-ax
 -1?(a>0且a≠1)

(1)求f(x)的定义域;
(2)是否存在实数a使得函数f(x)对于区间(2,+∞)上的一切x都有f(x)≥0?
分析:(1)由题意知函数的自变量要满足4-ax>0,移项后,两边取对数,针对于底数与1的关系进行讨论,根据指数函数的性质,得到当a取值不同时,对应的自变量不同,分别写出结果.
(2)根据函数的底数不同,所得到的定义域,求出定义域与所给的自变量的范围的公共部分,把不等式变形,移项,两边平方,整理出最简形式,根据恒成立思想,得到不存在满足条件的a的值.
解答:解:(1)由题意知函数的自变量要满足4-ax>0
∴ax<4
两边取对数,针对于底数与1的关系进行讨论,
a>1时,定义域(-∞,loga4];
0<a<1时,定义域[loga4,+∞)
(2)不存在.
∵当a>1时,定义域(-∞,loga4];
对于区间(2,+∞)上的一切x,
只有1<a<2,两个范围才有公共部分,
当1<a<2时,自变量为(2,loga4]
ax-1≥2
4-ax

两边平方后移项整理成最简形式,
(ax+1)2≥16,
∴ax+1≥4
∴ax≥3
∵ax是一个增函数,
∴只要a2≥3恒成立即可,
而当1<a<2时,不恒成立,
同理可得当0<a<1时,也不存在a,使得式子恒成立,
故总上可知不存在这样的a.
点评:本题考查指数函数的定义域,考查函数的恒成立问题,考查指数函数的单调性,是一个综合题目,这种题目考查的内容比较全面,可以作为解答题目出现在高考卷中.
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