题目内容
已知f(x)=Ax |
1-x |
(1)求f(x)的定义域;
(2)求f(x)的最大值和最小值;
(3)若g(x)=
mx-1 |
1-nx |
分析:(1)根据要使偶次根式有意义,只需根式里大于等于零,建立不等关系,解之即可;
(2)利用三角换元,转化成f(x)=
cos(β-α),然后研究cos(β-α)在[0,1]上的单调性,求出最值即可;
(3)设x=(
-
)t+
,x∈[
,
],∴t∈[0,1],将g(x)=
+
(m>n>0)转化成g(x)=k(t)=
+
,利用上一问结论即可求得最值.
(2)利用三角换元,转化成f(x)=
A2+B2 |
(3)设x=(
1 |
n |
1 |
m |
1 |
m |
1 |
m |
1 |
n |
mx-1 |
1-nx |
m(
|
n(
|
解答:解:(1)f(x)的定义域为[0,1].
(2)f(x)=
(
+
),
设cosα=
,cosβ=
,(0<α,β<
),∴
=sinα,
=sinβ,
则f(x)=
cos(β-α),
当α=β时,x=
∈[0,1],此时f(x)最大值为
,
又cos(β-α)在[0,
]递增,在[
,1]递减,
∴f(x)的最小值是f(0)与f(1)的较小者,即A与B的较小者.
(3)设x=(
-
)t+
,∴x∈[
,
],∴t∈[0,1],
则g(x)=k(t)=
+
,
由(2)知g(x)的最大值为
=
,
最小值为
和
的较小者,即
.
(2)f(x)=
A2+B2 |
A | ||
|
x |
B | ||
|
1-x |
设cosα=
A | ||
|
x |
π |
2 |
B | ||
|
1-x |
则f(x)=
A2+B2 |
当α=β时,x=
A2 |
A2+B2 |
A2+B2 |
又cos(β-α)在[0,
A2 |
A2+B2 |
A2 |
A2+B2 |
∴f(x)的最小值是f(0)与f(1)的较小者,即A与B的较小者.
(3)设x=(
1 |
n |
1 |
m |
1 |
m |
1 |
m |
1 |
n |
则g(x)=k(t)=
m(
|
n(
|
由(2)知g(x)的最大值为
m(
|
|
最小值为
m(
|
n(
|
1-
|
点评:本题主要考查了函数的定义域及其求法,以及函数的最值及其几何意义,属于基础题.
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