题目内容

已知f(x)=A
x
+B
1-x
(A>0,B>0)

(1)求f(x)的定义域;
(2)求f(x)的最大值和最小值;
(3)若g(x)=
mx-1
+
1-nx
(m>n>0)
,如何由(2)的结论求g(x)的最大值和最小值.
分析:(1)根据要使偶次根式有意义,只需根式里大于等于零,建立不等关系,解之即可;
(2)利用三角换元,转化成f(x)=
A2+B2
cos(β-α)
,然后研究cos(β-α)在[0,1]上的单调性,求出最值即可;
(3)设x=(
1
n
-
1
m
)t+
1
m
x∈[
1
m
1
n
],∴t∈[0,1]
,将g(x)=
mx-1
+
1-nx
(m>n>0)
转化成g(x)=k(t)=
m(
1
n
-
1
m
)t
+
n(
1
n
-
1
m
)(1-t)
,利用上一问结论即可求得最值.
解答:解:(1)f(x)的定义域为[0,1].
(2)f(x)=
A2+B2
(
A
A2+B2
x
+
B
A2+B2
1-x
)

cosα=
A
A2+B2
,cosβ=
x
,(0<α,β<
π
2
)
,∴
B
A2+B2
=sinα,
1-x
=sinβ

f(x)=
A2+B2
cos(β-α)

当α=β时,x=
A2
A2+B2
∈[0,1]
,此时f(x)最大值为
A2+B2

又cos(β-α)在[0,
A2
A2+B2
]
递增,在[
A2
A2+B2
,1]
递减,
∴f(x)的最小值是f(0)与f(1)的较小者,即A与B的较小者.
(3)设x=(
1
n
-
1
m
)t+
1
m
,∴x∈[
1
m
1
n
],∴t∈[0,1]

g(x)=k(t)=
m(
1
n
-
1
m
)t
+
n(
1
n
-
1
m
)(1-t)

由(2)知g(x)的最大值为
m(
1
n
-
1
m
)+n(
1
n
-
1
m
)
=
m
n
-
n
m

最小值为
m(
1
n
-
1
m
)
n(
1
n
-
1
m
)
的较小者,即
1-
n
m
点评:本题主要考查了函数的定义域及其求法,以及函数的最值及其几何意义,属于基础题.
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