Question

【题目】定义运算“”：对于任意，（等式的右边是通常的加减乘运算）．若数列的前n项和为，且对任意都成立．

（1）求的值，并推导出用表示的解析式；

（2）若，令，证明数列是等差数列；

（3）若，令，数列满足，求正实数b的取值范围．

Answer 1

【答案】（1），；（2）证明见解析；（3）

【解析】

（1）直接利用信息的应用和赋值法的应用求出函数的关系式的表达式；

（2）利用构造法对和数列的关系式进行变换，进一步利用定义求出数列的通项公式；
（3）利用（1）和（2）的结论，进一步函数的单调性和极限的应用求出参数的取值范围．

（1）∵，
．
令，得，
．
当时，有．
，

．
（2），
，整理得．
．
∴数列是以首项为1、公差为的等差数列．
（3）结合（1），且，
，即．
．
当时，，此时，，总是满足；
当时，，此时，是等比数列．
．
．

若时，数列是单调递增数列，且时，，不满足．
若时，， 数列是单调递减数列，故又，同样恒有成立；
若时，，数列是单调递增数列，．
由，即此时当时，满足．
综上，所求实数的取值范围是.