Question

2．由棱长为2的正方体表面的六个中心为顶点构成的新几何体的体积为（　　）

• A． 2
• B． 4
• C． $\frac{2}{3}$
• D． $\frac{4}{3}$

Answer 1

分析 由棱长为2的正方体表面的六个中心为顶点构成的新几何体是两个有公共底的正四棱锥，正四棱锥的底面是边长为$\sqrt{2}$，高为1，由此能求出新几何体的体积．

解答 解：如图，由棱长为2的正方体表面的六个中心为顶点构成的新几何体

是两个有公共底的正四棱锥O₁-O₂O₃O₄O₅-O₆，
正四棱锥的底面O₂O₃O₄O₅是边长为$\sqrt{2}$的正方形，正四棱锥高为1，
∴正四棱锥O₁-O₂O₃O₄O₅的体积V′=$\frac{1}{3}×{（\sqrt{2}）}^{2}×1$=$\frac{2}{3}$，
∴新几何体的体积为V=2V′=$\frac{4}{3}$．
故选：D．

点评 本题考查几何体的体积的求法，是基础题，解题时要认真审题，解题的关键是得到新几何体是两个有公共底的正四棱锥，且正四棱锥的底面是边长为$\sqrt{2}$的正方形，高为1．