题目内容
【题目】如图,在平行六面体中,底面
为菱形,
和
相交于点
为
的中点
(1)求证:平面
;
(2)若在平面
上的射影为
的中点
.求平面
与平而
所成锐二面角的大小
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】
(1)通过证明即可得到线面平行;
(2)建立空间直角坐标系,利用空间向量法求出二面角.
解:(1)因为,所以
相互平分,
所以为
和
的中点
又因为为
的中点,所以
为
的中位线,所以
又因为平面
平面
,
所以平面
(2)因为在平面
上的射影为
的中点
,所以
平面
.
又因四边形为菱形,所以
,所以
两两垂直,
所以分别以射线为
轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系
设.由四边形
为菱形,
得
所以
所以
设平面的法向量为
,则
,即
令则
,所以
易知平面的一个法向量为
设平面与平面
所成锐二面角为
,
则,所以平面
与平面
所成锐二面角为
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