Question

15．a₁=1，a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{2{a}_{n}+1}$，a_n=$\frac{1}{2n-1}$．

Answer 1

分析 把已知数列递推式两边取倒数，得到数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以$\frac{1}{{a}_{1}}=1$为首项，以2为公差的等差数列，求出等差数列的通项公式后可得a_n．

解答 解：由a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{2{a}_{n}+1}$，得$\frac{1}{{a}_{n+1}}=\frac{1}{{a}_{n}}+2$，
即数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}构成以$\frac{1}{{a}_{1}}=1$为首项，以2为公差的等差数列，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}=1+2（n-1）=2n-1$，则${a}_{n}=\frac{1}{2n-1}$．
故答案为：$\frac{1}{2n-1}$．

点评 本题考查数列递推式，考查了等差关系的确定，是中档题．