Question

（2011•洛阳二模）已知点M（-5，0），F（1，0），点K满足

MK

=2

KF

，P是平面内一动点，且满足|

PF

|•|

KF

|=

PK

•

FK

．
（1）求P点的轨迹C的方程；
（2）过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l₁，l₂，设l₁与曲线C相交于点A，B，l₂与曲线C相交于点D，E，求四边形ADBE的面积的最小值．

Answer 1

分析：（1）先确定K的坐标，再利用

PF

|•|

KF

|=

PK

•

FK

，即可求P点的轨迹C的方程；
（2）设出直线方程，与抛物线方程联立，求得|AB|，|DE|，表示出面积，利用基本不等式，即可求得最值．

解答：解：（1）设K（x₀，y₀），P（x，y）
∵M（-5，0），F（1，0），

MK

=2

KF

，
∴（x₀+5，y₀）=2（1-x₀，-y₀）
∴x₀=-1，y₀=0，∴K（-1，0）
∵|

PF

|•|

KF

|=

PK

•

FK

，
∴2

(x-1)2+y2

=（-1-x₀，-y₀）•（-2，0）
∴

(x-1)2+y2

=1+x，即y²=4x；
（2）设l₁的方程为x=ny+1（n≠0），与y²=4x联立，消去x可得y²-4ny-4=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y₁+y₂=4n，y₁y₂=-4
∴|AB|=

1+n2

|y1-y2|=4（n²+1）
∵l₁⊥l₂，∴l₂的方程为x=-

1

n

y+1，与y²=4x联立，
同理可得|DE|=4（

1

n2

+1）
∴四边形ADBE的面积为

1

2

|AB||DE|=8（n²+1）（

1

n2

+1）=8（n²+

1

n2

+2）≥32
当且仅当n²=

1

n2

，即n=±1时，四边形ADBE的面积的最小值为32．

点评：本题考查轨迹方程，考查向量知识的运用，考查直线与抛物线的位置关系，考查四边形面积的计算，考查基本不等式，属于中档题．