题目内容
【题目】在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a,b,c成等比数列,且 .
(Ⅰ)求角B的大小;
(Ⅱ)若b=3,求△ABC的面积最大值.
【答案】解:(Ⅰ)因为a、b、c成等比数列,则b2=ac.由正弦定理得sin2B=sinAsinC.
又 ,
所以 .
因为sinB>0,
则 .
因为B∈(0,π),
所以B= 或 .
又b2=ac,则b≤a或b≤c,即b不是△ABC的最大边,
故 .
(II)由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB得9=a2+c2﹣ac≥2ac﹣ac,得ac≤9.
所以, .
当a=c=3时,△ABC的面积最大值为
【解析】(Ⅰ)由正弦定理结合已知可得sin2B=sinAsinC.又 ,结合sinB>0,可求sinB的值,结合B∈(0,π),即可求得B的大小,又b2=ac,则b≤a或b≤c,即b不是△ABC的最大边,从而可求B的值.(II)由余弦定理结合已知可得ac≤9,由三角形面积公式可得 ,即可求得△ABC的面积最大值.
【考点精析】解答此题的关键在于理解正弦定理的定义的相关知识,掌握正弦定理:,以及对余弦定理的定义的理解,了解余弦定理:;;.