Question

4．已知圆C：x²+y²=4和直线l：x+2y=8，在l上有一点M，过M作圆的两条切线MA，MB，求切点弦AB的中点N的轨迹方程．

Answer 1

分析 设直线l：x+2y=8上的点M为（x₀，$\frac{1}{2}$（8-x₀）），求出直线AB的方程，再求出直线CP的方程；两方程联立，消去参数x₀，求出动点N的轨迹方程．

解答 解：设点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），且直线l：x+2y=8上的点M为（x₀，$\frac{1}{2}$（8-x₀）），
则再设Q（x，y）为过A的切线上一点，∴$\overrightarrow{AQ}$=（x-x₁，y-y₁），
∵$\overrightarrow{AQ}$•$\overrightarrow{CA}$=0，∴x₁（x-x₁）+y₁（y-y₁）=0，化简得x₁x+y₁y=x₁²+y₁²
又∵点A在圆x²+y²=4上，∴x₁²+y₁²=4，
∴经过点A的圆的切线为x₁x+y₁y=4，
同理经过点B的圆的切线为x₂x+y₂y=4；
又∵点P（x₀，$\frac{1}{2}$（8-x₀））是两切线的交点，
∴x₀x₁+$\frac{1}{2}$（8-x₀）y₁=4，说明点A（x₁，y₁）在直线x₀x+$\frac{1}{2}$（8-x₀）y=4上；
同理x₀x₂+$\frac{1}{2}$（8-x₀）y₂=4，说明点B（x₂，y₂）在直线x₀x+$\frac{1}{2}$（8-x₀）y=4上；
∴直线AB的方程为：x₀x+$\frac{1}{2}$（8-x₀）y=4①，
又直线CM的方程为：$\frac{1}{2}$（8-x₀）x-x₀y=0②；
①②联立，消去x₀，得x²+y²-x-2y=0，
∴点N的运动轨迹所在的方程为x²+y²-x-2y=0．

点评 本题考查了求点的轨迹方程的问题，解题时应先求出圆的切点弦所在直线方程，再利用两直线的交点坐标，消去参数，即可得出结论，是中档题．