题目内容
【题目】已知函数.
(1) 时,证明: ;
(2)当时,直线和曲线切于点,求实数的值;
(3)当时,不等式恒成立,求实数的取值范围.
【答案】(1)见解析;(2);(3).
【解析】【试题分析】(1)依据题设条件构造函数,运用导数知识求出其最小值,从而使得不等式获证;(2)先设切点坐标为, ,然后建立方程组,求得.进而得到;(3)依据题设条件将不等式转化为恒成立, 进而分离参数,构造函数,将问题转化为求函数的最小值来求解:
解:(1)记,
∵,
令得,
当, , 递减;当, , 递增,
∴,
,
得.
(2)切点为, ,则
,∴,
∵,∴由(1)得.
所以.
(3)由题意可得恒成立,
所以,
下求的最小值,
,
由(1) 知且.
所以, 递减,
∵,∴.
所以.
【题目】某学校课题组为了研究学生的数学成绩与学生细心程度的关系,在本校随机调查了100名学生进行研究.研究结果表明:在数学成绩及格的60名学生中有45人比较细心,另外15人比较粗心;在数学成绩不及格的40名学生中有10人比较细心,另外30人比较粗心.
(1)试根据上述数据完成列联表;
数学成绩及格 | 数学成绩不及格 | 合计 | |
比较细心 | 45 | ||
比较粗心 | |||
合计 | 60 | 100 |
(2)能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为学生的数学成绩与细心程度有关系?
参考数据:独立检验随机变量的临界值参考表:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
,其中
【题目】某学校课题组为了研究学生的数学成绩与学生细心程度的关系,在本校随机调查了100名学生进行研究.研究结果表明:在数学成绩及格的60名学生中有45人比较细心,另外15人比较粗心;在数学成绩不及格的40名学生中有10人比较细心,另外30人比较粗心.
(1)试根据上述数据完成列联表;
数学成绩及格 | 数学成绩不及格 | 合计 | |
比较细心 | 45 | ||
比较粗心 | |||
合计 | 60 | 100 |
(2)能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为学生的数学成绩与细心程度有关系?
参考数据:独立检验随机变量的临界值参考表:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
,其中
【题目】在某校举行的航天知识竞赛中,参与竞赛的文科生与理科生人数之比为,且成绩分布在,分数在80以上(含80)的同学获奖.按文理科用分层抽样的方法抽取200人的成绩作为样本,得到成绩的频率分布直方图(见下图)
(Ⅰ)求所抽取样本的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
(Ⅱ)填写下面的列联表,能否有超过95%的把握认为“获奖与学生的文理科有关”?
附表及公式:
,其中
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
【题目】“DD共享单车”是为城市人群提供便捷经济、绿色低碳的环保出行方式,根据目前在三明市的投放量与使用的情况,有人作了抽样调查,抽取年龄在二十至五十岁的不同性别的骑行者,统计数据如下表所示:
男性 | 女性 | 合计 | |
20~35岁 | 40 | 100 | |
36~50岁 | 40 | 90 | |
合计 | 100 | 90 | 190 |
(1)求统计数据表中的值;
(2)假设用抽到的100名20~35岁年龄的骑行者作为样本估计全市的该年龄段男女使用“DD共享单车”情况,现从全市的该年龄段骑行者中随机抽取3人,求恰有一名女性的概率;
(3)根据以上列联表,判断使用“DD共享单车”的人群中,能否有的把握认为“性别”与“年龄”有关,并说明理由.
参考数表:
参考公式: , .