题目内容
9.已知三个点A(2,1)、B(3,2)、D(-1,4).(Ⅰ)求证:$\overrightarrow{AB}⊥\overrightarrow{AD}$;
(Ⅱ)要使四边形ABCD为矩形,求点C的坐标,并求矩形ABCD两对角线所夹锐角的余弦值.
分析 (I)运用平面向量的数量积得出$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}$=1×(-3)+1×3=0,求解即可.
(II)$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$.$\overrightarrow{AB}⊥\overrightarrow{AD}$,坐标得出点C的坐标为(0,5).再运用数量积求解得出cosθ=$\frac{16}{20}$=$\frac{4}{5}$>0.
解答 解(Ⅰ)证明:A(2,1),B(3,2),D(-1,4).
∴$\overrightarrow{AB}$=(1,1),$\overrightarrow{AD}$=(-3,3).
又∵$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}$=1×(-3)+1×3=0,
∴$\overrightarrow{AB}⊥\overrightarrow{AD}$.
(Ⅱ)∵$\overrightarrow{AB}⊥\overrightarrow{AD}$,若四边形ABCD为矩形,则$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$.
设C点的坐标为(x,y),则有(1,1)=(x+1,y-4),
∴$\left\{\begin{array}{l}{x+1=1}\\{y-4=1}\end{array}\right.$
即$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=5}\end{array}\right.$
∴点C的坐标为(0,5).
由于$\overrightarrow{AC}$=(-2,4),$\overrightarrow{BD}$=(-4,2),
∴$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BD}$=(-2)×(-4)+4×2=16,$|{\overrightarrow{AC}}|=|{\overrightarrow{BD}}|$=2$\sqrt{5}$.
设对角线AC与BD的夹角为θ,则cosθ=$\frac{16}{20}$=$\frac{4}{5}$>0.
故矩形ABCD两条对角线所夹锐角的余弦值为$\frac{4}{5}$.
点评 本题考查了运用向量解决平面直线的位置关系,平面几何中的边长,夹角问题,准确计算化简,属于中档题.
A. | 没有实根 | B. | 两个相等实根 | C. | 两个不等实根 | D. | 无法判断 |
A. | 1 | B. | $\frac{\sqrt{2e}}{2}$ | C. | $\frac{e}{2}$ | D. | $\frac{{e}^{2}}{4}$ |
A. | 3 | B. | $\frac{\sqrt{17}}{2}$ | C. | $\sqrt{5}$ | D. | $\frac{9}{2}$ |