题目内容

4.已知P在△ABC所在平面内,且$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{PC}$•$\overrightarrow{PA}$,则点P是△ABC的(  )
A.重心B.内心C.外心D.垂心

分析 根据 $\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{PC}$,移向并根据向量的数量积的运算法则,得到 $\overrightarrow{PB}$•($\overrightarrow{CA}$)=0,因此有PB⊥CA,同理可得PA⊥BC,PC⊥AB,根据三角形五心的定义,即可求得结果

解答 解:∵$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{PC}$,
∴$\overrightarrow{PB}$•($\overrightarrow{CA}$)=0,
∴PB⊥CA,
同理可得PA⊥BC,PC⊥AB,
∴P是△ABC的垂心.
故选:D.

点评 本小题主要考查向量的数量积的运算法则、三角形垂心等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想.属于基础题

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