题目内容

定义在R的函数f（x）满足f（x+y）=f（x）+f（y），x，y∈R，且f（1）=2，有下面的四个式子：
①f（1）+2f（1）+…+nf（1）；②f[
n(n+1)
2
]；③n（n+1）；④n（n+1）f（1），则其中与f（1）+f（2）+…+f（n）相等的有（　　）
分析：由已知，定义在R上的函数f（x）对任意x，y满足f（x+y）=f（x）+f（y）（x，y∈R），且f（1）=2，f（2）=2f（2），
f（n）=nf（1），f（1）+f（2）+…+f（n）=f（1）+2f（1）+…+nf（1）=f[
n(n+1)
2
]=
n(n+1)
2
f（1）=n（n+1）即可判定真假．
解答：解：由定义知f（1）=2，f（2）=2f（2），f（n）=nf（1），
f（1）+f（2）+…+f（n）=f（1）+2f（1）+…+nf（1）=f[
n(n+1)
2
]=
n(n+1)
2
f（1）=n（n+1）；
故①②③正确，④不正确；
故选C．
点评：在新定义函数的规则下，考查等差数列求和，隐蔽性相当强．请读者注意总结本题的经验．
练习册系列答案
相关题目
设定义在R的函数f（x）同时满足以下条件：①f（x）+f（-x）=0；②f（x）=f（x+2）；③当0≤x＜1时，f（x）=2x-1．则f(
1
2
)+f(1)+f(
3
2
)+f(2)+f(
5
2
)=
 
．
已知定义在R的函数f（x）对任意实数x，y恒有f（x）+f（y）=f（x+y），且当x＞0时，f（x）＜0，又f（1）=-
23
，
（1）求征，f（x）为奇函数；
（2）求证：f（x）在R上是减函数；
（3）求f（x）在[-3，6]上的最大值与最小值．
关于函数y=f（x），有下列命题：
①若a∈[-2，2]，则函数f(x)=
x2+ax+1
的定域为R；
②若f(x)=log
1
2
(x2-3x+2)，则f（x）的单调增区间为(-∞，
3
2
)
③（理）若f(x)=
1
x2-x-2
，则
lim
x→2
[(x-2)f(x)]=0；
（文）若f(x)=
1
x2-x-2
，则值域是（-∞，0）∪（0，+∞）
④定义在R的函数f（x），且对任意的x∈R都有：f（-x）=-f（x），f（1+x）=f（1-x），则4是y=f（x）的一个周期．
其中真命题的编号是
 
．（文理相同）
定义在R的函数f（x）满足：①对任意的实数x、y∈R有f（x+y）=f（x）•f（y）．②当x＞0时，f（x）＞1，数列{an}满足a1=f(0)，且f(an+1)=
1
f(-1-an)
，(n∈N*)
（1）求f（0），并判断f（x）的单调性；
（2）求数列{an}的通项公式an；
（3）令bn是最接近
an
的正整数，即|
an
-bn|＜
1
2
，bn∈N*，设Tn=
1
b1
+
1
b2
++ …
1
bn
(n∈N*)求T1000．

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