Question

定义在R的函数f（x）满足：①对任意的实数x、y∈R有f（x+y）=f（x）•f（y）．②当x＞0时，f（x）＞1，数列{an}满足a1=f(0)，且f(an+1)=

1

f(-1-an)

，(n∈N*)
（1）求f（0），并判断f（x）的单调性；
（2）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（3）令b_n是最接近

an

的正整数，即|

an

-bn|＜

1

2

，bn∈N*，设Tn=

1

b1

+

1

b2

++ …

1

bn

(n∈N*)求T₁₀₀₀．

Answer 1

分析：（1）由f（x+y）=f（x）•f（y），令x=1，y=0即可求出f（0），再利用函数单调性定义证明函数为R上的增函数
（2）由a₁=f（0）得a₁=1，由f(an+1)=

1

f(-1-an)

，(n∈N*)及函数单调性，可得地推公式a_n+1-a_n=1，最后由等差数列通项公式得通项公式a_n
（3）令b_n=k（k∈N^*）是最接近

an

=

n

得正整数，即k-

1

2

＜

n

＜k+

1

2

，求得当n=1000时，k的范围，再求这32项之和即可

解答：解：（1）由f（x+y）=f（x）•f（y），令x=1，y=0，
则f（1）=f（1）•f（0），所以f（1）[f（0）-1]=0，∵x＞0时，f（x）＞1，则f（1）≠0，所以只能f（0）=1，
由①知 f（x）•f（-x）=f（0）=1∵x＞0时，f（x）＞1，则x＜0时，f（x）＜1，所以x∈R，有f（x）＞0
任取x₁＜x₂，则f（x₂）=f[x₁+（x₂-x₁）]=f（x₁）•f（x₂-x₁）
∵x₂-x₁＞0，则f（x₂-x₁）＞1，又f（x₁）＞0，所以f（x₂）＞f（x₁），
所以f（x）在R上为增函数．
（2）由a₁=f（0）得a₁=1，因为f(an+1)=

1

f(-1-an)

，(n∈N*)，得f（a_n+1）•f（-1-a_n）=1=f（0），
由f（x）在R上为增函数及f（x+y）=f（x）•f（y），得a_n+1-1-a_n=0，即a_n+1-a_n=1，
∴{a_n}为等差数列，首项为1，公差为1，
∴a_n=n
（3）令b_n=k（k∈N^*）是最接近

an

=

n

得正整数，即k-

1

2

＜

n

＜k+

1

2

，平方k2-k+

1

4

＜n＜k2+k+

1

4

，因为k，n均为正整数，所以k²-k+1≤n≤k²+k，所以满足b_n=k的正整数n有k²+k-（k²-k+1）+1=2k个，所以31²＜1000＜32²，T1000=

1

b1

+

1

b2

+…+

1

b1000

=2×1+4×

1

2

+…+62×

1

31

+8×

1

32

=

249

4

点评：本题综合考查了函数的抽象表达式的运用，等差数列的定义以及数列的综合运用，解题时要善于使用抽象规则，深刻理解题意，认真计算解决问题