Question

已知定义在R的函数f（x）对任意实数x，y恒有f（x）+f（y）=f（x+y），且当x＞0时，f（x）＜0，又f（1）=-

2

3

，
（1）求征，f（x）为奇函数；
（2）求证：f（x）在R上是减函数；
（3）求f（x）在[-3，6]上的最大值与最小值．

Answer 1

分析：（1）首先令y=-x，求得f（x）+f（-x）=f（0），然后求出f（0）的值，进而得出f（x）=-f（-x），即可证明为奇函数；
（2）设x₁＜x₂，通过f（x₂）=f[（x₂-x₁）+x₁]=f（x₂-x₁）+f（x₁）来判断f（x₂）与f（x₁）的大小关系；
（3）先求出f（3）的值，由（2）可知函数为减函数，可知x=-3时，取得最大值，x=6时取得最小值．

解答：解：（1）证明：令y=-x，则f（x）+f（-x）=f（x-x）=f（0），
当x=1，y=0时，则f（1）+f（0）=f（1）
∴f（0）=0
∴f（x）+f（-x）=f（0）=0
即f（x）=-f（-x）
∴f（x）为奇函数
（2）设x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，则f（x₂）=f[（x₂-x₁）+x₁]=f（x₂-x₁）+f（x₁）
∴f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁），
∵x₂-x₁＞0，由题意得f（x₂-x₁）＜0，即f（x₂）＜f（x₁）
∴f（x）在R是减函数；
（3）∵f（1）=-

2

3

∴f（2）=-

4

3

  f（3）=-2
∵f（x）在[-3，6]上是减函数，
∴f（x）_max=f（-3）=-f（3）=2
f（x）_min=f（6）=-4

点评：本题主要考查了函数奇偶性、单调性的判断，对于抽象函数奇偶性的判断一般采取取特殊值的方法．