题目内容
【题目】已知函数,
.
(1)讨论的单调性;
(2)若有两个极值点
,
,且
,证明:
.
【答案】(1) 见解析.
(2)证明见解析.
【解析】分析:(1)先求导数,再根据二次方程 =0根得情况分类讨论:当
时,
.∴
在
上单调递减. 当
时,根据两根大小再分类讨论对应单调区间, (2)先化简不等式
消m得
,再利用导数研究
,
单调性,得其最小值大于-1,即证得结果.
详解:(1)由,得
,
.
设,
.
当时,即
时,
,
.
∴在
上单调递减.
当时,即
时,
令,得
,
,
.
当时,
,
在上,
,在
上,
,
∴在
上单调递增,在
上单调递减.
综上,当时,
在
上单调递减,
当时,
在
,
上单调递减,在
上单调递增,
当时,
在
上单调递增,在
上单调递减.
(2)∵有两个极值点
,
,且
,
∴由(1)知有两个不同的零点
,
,
,
,且
,此时,
,
要证明,只要证明
.
∵,∴只要证明
成立.
∵,∴
.
设,
,
则,
当时,
,
∴在
上单调递增,
∴,即
,
∴有两个极值点
,
,且
时,
.
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