题目内容
【题目】已知直线与圆心为坐标原点的圆
相切.
(1)求圆的方程;
(2)过点的直线与圆
交于
两点,若弦长
,求直线
的斜率的值;
(3)过点作两条相异直线分别与圆
相交于
,且直线
和直线
的倾斜角互补,试着判断向量
和
是否共线?请说明理由.
【答案】(1);(2)
或
;(3)共线,理由详见解析
【解析】
(1)根据点到直线的距离公式求出半径,结合圆心即可得出圆的方程.
(2)设直线的斜率为
,得出点斜式方程,再求圆心
到直线的距离
,根据公式
即可求出直线
的斜率.
(3)由题意知,直线和直线
的斜率存在,且互为相反数,
设,则
,联立
,得一元二次方程标
代入方程可得
,
,所以
,得出结论.
解(1)∵直线与圆心为坐标原点的圆
相切.
∴圆半径,
∴圆的方程为
.
(2)设直线的斜率为
.
则直线的方程为
,即
,
圆心到直线的距离为
,
∵弦长,
∴,
解得或
.
(3)向量和
共线,理由如下:
由题意知,直线和直线
的斜率存在,且互为相反数,
故可设,则
,
由,得
.
∵点的横坐标
一定是该方程的解,故可得
.
同理可得,
∴,
∴向量和
共线.
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