题目内容
【题目】如图，在三棱锥
中，平面
平面
，
为等边三角形，
，
是
的中点.
（1）证明：
；
（2）若
，求二面角
平面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）
.
【解析】
（1）取
的中点
，连接
、
，证明
平面
，从而得出
；
（2）证明出
平面
，可得出、、两两垂直，以点为坐标原点，
、
、
所在直线分别为
轴、
轴、
轴建立空间直角坐标系
，然后计算出平面
、
的法向量，利用空间向量法求出二面角
平面角的余弦值.
（1）证明：取中点，联结、，
为等边三角形，为的中点，
.
是
的中点，为中点，
，
，
.
，
平面，
平面，
；
（2）由（1）知，，
平面
平面，平面
平面
，
平面
，
平面，则、、两两垂直，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，
则
、
、
、
、
.
设平面的法向量为
，
，
.
由
，得
，令
，得
，
，
所以，平面的一个法向量为
.
设平面的法向量为
，
，
由
，得
，取
，得
，
.
所以，平面的一个法向量为
.
则
.
结合图形可知，二面角的平面角为锐角，其余弦值为.
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