Question

3．如图，PA为⊙O的切线，A为切点，PBC是过圆心O的割线，PA=10，PB=5，∠BAC的平分线与BC和⊙O分别交于点D和E，则AD•AE=90．

Answer 1

分析 先由∠PAB=∠ACP以及∠P公用，得到△PAB∽△PCA，进而求出$\frac{AB}{AC}=\frac{PA}{PC}$，再由切割线定理得到PA²=PB•PC；结合前面求出的结论以及勾股定理求出AC=6$\sqrt{5}$，AB=3$\sqrt{5}$，再结合条件得到△ACE∽△ADB，进而求出结果．

解答 解：∵PA为⊙O的切线，
∴∠PAB=∠ACP，
又∠P公用，∴△PAB∽△PCA．
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{PA}{PC}$．
∵PA为⊙O的切线，PBC是过点O的割线，
∴PA²=PB•PC．
又∵PA=10，PB=5，∴PC=20，BC=15．
∴∴$\frac{AB}{AC}=\frac{PA}{PC}$=$\frac{1}{2}$，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠CAB=90°．
∴AC²+AB²=BC²=225，
∴AC=6$\sqrt{5}$，AB=3$\sqrt{5}$，
连接CE，则∠ABC=∠E，
又∠CAE=∠EAB，
∴△ACE∽△ADB，
∴$\frac{AB}{AE}=\frac{AD}{AC}$，…
∴AD•AE=AB•AC=3$\sqrt{5}$×6$\sqrt{5}$=90．
故答案为：90．

点评 本题主要考查与圆有关的比例线段、相似三角形的判定及切线性质的应用．解题时要认真审题，仔细解答．