Question

已知函数f(x)=(

1

3

)x，x∈[-1，1]，函数g（x）=f²（x）-2af（x）+3．
（1）若f（2x₀-1）=

3

，求x0；
（2）求g（x）的最小值h（a）．

Answer 1

（1）∵f(x)=(

1

3

)x，x∈[-1，1]，
∴f（2x₀-1）=(

1

3

)2x0-1，
∵f（2x₀-1）=

3

，
∴(

1

3

)2x0-1=

3

=(

1

3

)-

1

2

，
∴2x₀-1=-

1

2

，
∴x₀=

1

4

，
∵f（x）定义域为[-1，1]，
∴（2x_o-1）∈[-1，1]，
∴x₀∈[0，1]，
∴x₀=

1

4

符合题意；
（2）∵g（x）=f²（x）-2af（x）+3，且f(x)=(

1

3

)x，x∈[-1，1]，
∴g（x）=[(

1

3

)x-a]2+3-a2，
∵f（x）定义域为[-1，1]，
∴g（x）定义域也为[-1，1]，
令t=(

1

3

)x，由-1≤x≤1，
∴

1

3

≤t≤3，
∴g（x）=ϕ（t）═（t-a）²+3-a²，
对称轴为t=a，
①当a≥3时，函数ϕ（t）=在[

1

3

，3]上是单调递减函数，
∴当t=3时，函数ϕ（t）取得最小值为ϕ（3）=12-6a，
∴h（a）=12-6a；
②当a≤

1

3

时，函数ϕ（t）=在[

1

3

，3]上是单调递增函数，
∴当t=

1

3

时，函数ϕ（t）取得最小值为ϕ（

1

3

）=

28

9

-

2

3

a，
∴h（a）=

28

9

-

2

3

a；
③当

1

3

＜a＜3时，函数ϕ（t）在对称轴t=a处取得最小值为ϕ（a）=3-a²，
∴h（a）=3-a²．
综合①②③，可得h（a）=

12-6a，a≥3 28 9 - 2 3 a，a≤ 1 3 3-a2， 1 3 ＜a＜3

．
∴g（x）的最小值h（a）=

12-6a，a≥3 28 9 - 2 3 a，a≤ 1 3 3-a2， 1 3 ＜a＜3

．