题目内容
【题目】如图,在六棱锥中,底面
是边长为
的正六边形,
.
(1)证明:平面平面
;
(2)若,求二面角
的余弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2)
【解析】
(1)要证明面面垂直,需先证明线面垂直,设,连结
,根据正六边形的性质和条件,可证明
平面
;(2)首先证明
,即
、
、
两两互相垂直,以
、
、
所在的直线为
轴、
轴、
轴建立空间直角坐标系
(如下图所示),分别求平面
和平面
的法向量
,根据公式求解
.
解:(1)设,连结
.
在正六边形中,根据对称性
为
中点,
又,
,
又因为,所以
.
又,所以
平面
.
又平面
,所以平面
平面
.
(2)在正六边形中,
,
所以,
.
又因为,所以
.
因为,所以
,即
,
所以、
、
两两互相垂直.
以、
、
所在的直线为
轴、
轴、
轴建立空间直角坐标系
(如图所示).
则,
,
,
,
,
,
设平面的一个法向量为
.
由得
令
,解得
,
.
所以.
设平面的一个法向量为
.
由得
令
,解得
.
所以.
因此.
因为二面角的平面角为钝角,
故二面角的余弦值为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
练习册系列答案
相关题目