题目内容
【题目】如图,在直三棱柱中,
,
是
的中点,
.
(1)求证:平面
;
(2)若异面直线和
所成角为
,求四棱锥
的体积.
【答案】(1)证明见解析.(2)
【解析】
(1) 连交
于点
,连
.再根据中位线证明
即可.
(2) 根据(1)可知或其补角为异面直线
和
所成角,再判断可得
为等边三角形,即可求得
,再根据线面垂直的判定与性质可得
平面
,继而求得四棱锥
的体积即可.
(1)证明:如图,连交
于点
,连
.
因为直三棱柱中,四边形
是矩形,故点
是
中点,
又是
的中点,故
,
又平面
,
平面
,故
平面
.
(2)解:由(1)知,又
,故
或其补角为异面直线
和
所成角.
设,则
,
,
,故
为等腰三角形,故
,
故为等边三角形,则有
,得到
.
故为等腰直角三角形,故
,又
平面
,
平面
,
故,又
,故
平面
,
又梯形的面积
,
,
则四棱锥的体积
.
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