题目内容

【题目】已知F1 , F2为椭圆 的左、右焦点,F2在以 为圆心,1为半径的圆C2上,且|QF1|+|QF2|=2a.

(1)求椭圆C1的方程;
(2)过点P(0,1)的直线l1交椭圆C1于A,B两点,过P与l1垂直的直线l2交圆C2于C,D两点,M为线段CD中点,求△MAB面积的取值范围.

【答案】
(1)解:圆C2的方程为

此圆与x轴相切,切点为

,即a2﹣b2=2,且

又|QF1|+|QF2|=3+1=2a

∴a=2,b2=a2﹣c2=2

∴椭圆C1的方程为


(2)解:当l1平行x轴的时候,l2与圆C2无公共点,从而△MAB不存在;

设l1:x=t(y﹣1),则l2:tx+y﹣1=0.

,消去x得(t2+2)y2﹣2t2y+t2﹣4=0,

又圆心 到l2的距离 ,得t2<1.

又MP⊥AB,QM⊥CD

∴M到AB的距离即Q到AB的距离,设为d2

∴△MAB面积

∴△MAB面积的取值范围为


【解析】(1)圆C2的方程为 ,由此圆与x轴相切,求出a,b的值,由此能求出椭圆C1的方程.(2)设l1:x=t(y﹣1),则l2:tx+y﹣1=0,与椭圆联立,得(t2+2)y2﹣2t2y+t2﹣4=0,由此利用弦长公式、点到直线距离公式,结合已知条件能求出△MAB面积的取值范围.

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