Question

17．设数列{a_n}，{b_n}，{c_n}满足a₁=a，b₁=1，c₁=3，对于任意n∈N^*，有b_n+1=$\frac{{a}_{n}+{c}_{n}}{2}$，c_n+1=$\frac{{a}_{n}+{b}_{n}}{2}$．
（1）求数列{c_n-b_n}的通项公式；
（2）若数列{a_n}和{b_n+c_n}都是常数项，求实数a的值；
（3）若数列{a_n}是公比为a的等比数列，记数列{b_n}和{c_n}的前n项和分别为S_n和T_n，记M_n=2S_n+1-T_n，求M_n＜$\frac{5}{2}$对任意n∈N^*恒成立的a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据条件建立方程关系即可求出求数列{c_n-b_n}的通项公式；
（2）b₁+c₁=4，数列{a_n}和{b_n+c_n}都是常数项，即有a_n=a，b_n+c_n=4，即可得到a=2；
（3）由等比数列的通项可得a_n=aⁿ，由M_n=2b₁+（2b₂-c₁）+（2b₃-c₂）+…+（2b_n+1-c_n）=2+a+a²+…+aⁿ，由题意可得a≠0且a≠1，0＜|a|＜1．运用等比数列的求和公式和不等式恒成立思想，计算即可得到a的范围．

解答 解：（1）由于b_n+1=$\frac{{a}_{n}+{c}_{n}}{2}$，c_n+1=$\frac{{a}_{n}+{b}_{n}}{2}$．
c_n+1-b_n+1=$\frac{1}{2}$（b_n-c_n）=-$\frac{1}{2}$（c_n-b_n），
即数列{c_n-b_n}是首项为2，公比为-$\frac{1}{2}$的等比数列，
所以c_n-b_n=2•（-$\frac{1}{2}$）^n-1；
（2）b_n+1+c_n+1=$\frac{1}{2}$（b_n+c_n）+a_n，
因为b₁+c₁=4，数列{a_n}和{b_n+c_n}都是常数项，
即有a_n=a，b_n+c_n=4，
即4=$\frac{1}{2}$×4+a，解得a=2；
（3）数列{a_n}是公比为a的等比数列，即有a_n=aⁿ，
由M_n=2S_n+1-T_n=2（b₁+b₂+…+b_n）-（c₁+c₂+…+c_n）
=2b₁+（2b₂-c₁）+（2b₃-c₂）+…+（2b_n+1-c_n）
=2+a+a²+…+aⁿ，
由题意可得a≠0且a≠1，0＜|a|＜1．
由2+$\frac{a（1-{a}^{n}）}{1-a}$＜$\frac{5}{2}$对任意n∈N^*恒成立，
即有2+$\frac{a}{1-a}$≤$\frac{5}{2}$，
解得-1＜a＜0或0＜a≤$\frac{1}{3}$．
故a的取值范围是（-1，0）∪（0，$\frac{1}{3}$]．

点评 本题主要考查数列的应用，等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查不等式恒成立思想，考查学生的运算能力．