Question

12．△ABC中，BC=4，AB=2AC，则S_△ABC的最大值为$\frac{16}{3}$．

Answer 1

分析 设AC=x，则AB=2x，根据面积公式得S_△ABC=2x$\sqrt{1-co{s}^{2}C}$，由余弦定理求得 cosC代入化简 S_△ABC=$\sqrt{\frac{256}{9}-\frac{9}{16}（{x}^{2}-\frac{80}{9}）^{2}}$，由三角形三边关系求得$\frac{4}{3}＜x＜4$，由二次函数的性质求得S_△ABC取得最大值．

解答 解：设AC=x，则AB=2x，根据面积公式得：S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•BC•sinC=2x•sinC
=2x$\sqrt{1-co{s}^{2}C}$．
由余弦定理可得：cosC=$\frac{16-3{x}^{2}}{8x}$，
∴S_△ABC=2x$\sqrt{1-co{s}^{2}C}$=2x$\sqrt{1-（\frac{16-3{x}^{2}}{8x}）^{2}}$=$\sqrt{-16-\frac{9}{16}{x}^{4}+10{x}^{2}}$
=$\sqrt{-\frac{9}{16}[（{x}^{2}-\frac{80}{9}）^{2}-\frac{4096}{81}]}$=$\sqrt{\frac{256}{9}-\frac{9}{16}（{x}^{2}-\frac{80}{9}）^{2}}$．
由三角形三边关系有 $\left\{\begin{array}{l}{2x+x＞4}\\{x+4＞2x}\end{array}\right.$，解得$\frac{4}{3}＜x＜4$，
故当x=$\frac{4\sqrt{5}}{3}$时，S_△ABC取得最大值$\frac{16}{3}$，
故答案为：$\frac{16}{3}$．

点评 本题主要考查了余弦定理和面积公式在解三角形中的应用，考查了二次函数的性质，考查了计算能力，当涉及最值问题时，可考虑用函数的单调性和定义域等问题，属于中档题．