Question

11．已知正实数x，y，且xy=1，求$\frac{x+y}{xy+x+y+1}$的取值范围．

Answer 1

分析 由基本不等式可得x+y≥2，从而化简$\frac{x+y}{xy+x+y+1}$=$\frac{x+y}{x+y+2}$=1-$\frac{2}{x+y+2}$，从而求得．

解答 解：∵x＞0，y＞0，且xy=1，
∴x+y≥2（当且仅当x=y=1时，等号成立）；
故$\frac{x+y}{xy+x+y+1}$=$\frac{x+y}{x+y+2}$=1-$\frac{2}{x+y+2}$，
又∵0＜$\frac{2}{x+y+2}$≤$\frac{2}{2+2}$=$\frac{1}{2}$，
故$\frac{1}{2}$≤$\frac{x+y}{xy+x+y+1}$＜1．

点评 本题考查了基本不等式的应用及分离常数法的应用．