题目内容
（2013•和平区二模）已知点A、B分别是椭圆
+
=1(a＞b＞0)长轴的左、右端点，点C是椭圆短轴的一个端点，且离心率e=
．三角形ABC的面积为
，动直线l：y=kx+m与椭圆于M、N两点．
（I）求椭圆的方程；
（II）若椭圆上存在点P，满足
+
=λ
（O为坐标原点），求λ的取值范围；
（III）在（II）的条件下，当λ=
时，求△MNO面积．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| ||
| 2 |
| 2 |
（I）求椭圆的方程；
（II）若椭圆上存在点P，满足
| OM |
| ON |
| OP |
（III）在（II）的条件下，当λ=
| 2 |
分析：（I）由离心率e=
，及三角形的面积联立方程组，即可求椭圆的方程；
（II）直线方程代入椭圆方程，分类讨论，确定P的坐标，利用P在椭圆上，即可求λ的取值范围；
（III）求出|MN|，点O到直线MN的距离，利用面积公式，即可求△MNO面积．
| ||
| 2 |
（II）直线方程代入椭圆方程，分类讨论，确定P的坐标，利用P在椭圆上，即可求λ的取值范围；
（III）求出|MN|，点O到直线MN的距离，利用面积公式，即可求△MNO面积．
解答：解：（I）由题意，
，∴a=
，b=1
∴椭圆的方程为
+y2=1；
（II）y=kx+m代入椭圆方程整理可得（1+2k2）x2+4kmx+2m2-2=0．
设点M、N的坐标分别为M（x1，y1）、N（x2，y2）、P（x0，y0），则
x1+x2=-
，x1x2=
∴y1+y2=k（x1+x2）+2m=
（1）当m=0时，点M、N关于原点对称，则λ=0．
（2）当m≠0时，点M、N不关于原点对称，则λ≠0，
∵
+
=λ
，∴（x1，y1）+（x2，y2）=λ（x0，y0），
∴x1+x2=λx0，y1+y2=λy0，
∴x0=-
，y0=
∵P在椭圆上，
∴[-
]2+2[
]2=2
化简，得4m2（1+2k2）=λ2（1+2k2）2．
∵1+2k2≠0，
∴有4m2=λ2（1+2k2）．…①…7分
又∵△=16k2m2-4（1+2k2）（2m2-2）=8（1+2k2-m2），
∴由△＞0，得1+2k2＞m2．…②…8分
将①、②两式，∵m≠0，∴λ2＜4，
∴-2＜λ＜2且λ≠0．
综合（1）、（2）两种情况，得实数λ的取值范围是-2＜λ＜2；
（III）由题意，|MN|=
|x1-x2|，点O到直线MN的距离d=
∴S△MNO=
|m||x1-x2|=
当λ=
时，由4m2=λ2（1+2k2）可得2m2=1+2k2，
∴S△MNO=
．
|
| 2 |
∴椭圆的方程为
| x2 |
| 2 |
（II）y=kx+m代入椭圆方程整理可得（1+2k2）x2+4kmx+2m2-2=0．
设点M、N的坐标分别为M（x1，y1）、N（x2，y2）、P（x0，y0），则
x1+x2=-
| 4km |
| 1+2k2 |
| 2m2-2 |
| 1+2k2 |
∴y1+y2=k（x1+x2）+2m=
| 2m |
| 1+2k2 |
（1）当m=0时，点M、N关于原点对称，则λ=0．
（2）当m≠0时，点M、N不关于原点对称，则λ≠0，
∵
| OM |
| ON |
| OP |
∴x1+x2=λx0，y1+y2=λy0，
∴x0=-
| 4km |
| λ(1+2k2) |
| 2m |
| λ(1+2k2) |
∵P在椭圆上，
∴[-
| 4km |
| λ(1+2k2) |
| 2m |
| λ(1+2k2) |
化简，得4m2（1+2k2）=λ2（1+2k2）2．
∵1+2k2≠0，
∴有4m2=λ2（1+2k2）．…①…7分
又∵△=16k2m2-4（1+2k2）（2m2-2）=8（1+2k2-m2），
∴由△＞0，得1+2k2＞m2．…②…8分
将①、②两式，∵m≠0，∴λ2＜4，
∴-2＜λ＜2且λ≠0．
综合（1）、（2）两种情况，得实数λ的取值范围是-2＜λ＜2；
（III）由题意，|MN|=
| 1+k2 |
| |m| | ||
|
∴S△MNO=
| 1 |
| 2 |
| ||||
| 1+2k2 |
当λ=
| 2 |
∴S△MNO=
| ||
| 2 |
点评：本题主要考查待定系数法求圆锥曲线的方程，要注意椭圆的三个参数的关系为：a2=b2+c2；求解直线与椭圆的位置关系问题，通常是联立方程组，利用韦达定理求解．
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