Question

3．在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O是底面ABCD对角线的交点．
（Ⅰ）求证：BD⊥平面ACC₁A₁；
（Ⅱ）求直线BC₁与平面ACC₁A₁所成的角．

Answer 1

分析 （Ⅰ）欲证明直线与平面垂直，可以先证明直线与直线垂直，由BD⊥CC₁，BD⊥AC可得BD⊥平面ACC₁A₁．
（Ⅱ）由已知得AA₁⊥BD，AC⊥BD，从而BD⊥平面ACC₁A₁，∠B₁CO为直线BC₁与平面ACC₁A₁所成的角，由此能求出直线BC₁与平面ACC₁A₁所成角．

解答 （Ⅰ）证明：∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方体，
∴CC₁⊥平面ABCD，
∴BD⊥CC₁
∵ABCD是正方形，∴BD⊥AC
又∵AC，CC₁?平面ACC₁A₁，且AC∩CC₁=C，
∴BD⊥平面ACC₁A₁．（6分）
（Ⅱ）解：在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
∵AA₁⊥平面ABCD，∴AA₁⊥BD，
又在正方形ABCD中，AC⊥BD，
∵AC∩AA₁=A，∴BD⊥平面ACC₁A₁，
∴∠BC₁O为直线BC₁与平面ACC₁A₁所成的角，
由题意知∠BC₁O=30°，
∴直线BC₁与平面ACC₁A₁所成角为30°．（12分）

点评 本题考查直线与平面平行的证明，考查直线与平面所成角的大小的求法，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．