题目内容
18．已知数列{an}满足：a1=1，3a2n+12n+1+3a2n-10anan+1=3，an＜an+1（n∈N+）．（Ⅰ）证明：{3an+1-an}是等比数列；
（Ⅱ）设数列{an}的前n项和为Sn，求证：n2Sn≤1a1+1a2+…+1an＜32．
分析 （Ⅰ）法一、由数列递推式得3an2+3an−12−10an−1an=3（n≥2），和原递推式作差后可得3an+1-an=3（3an-an-1）（n≥2），即可说明{3an+1-an}是等比数列；
法二、由已知结合原递推式求得数列的前几项，然后归纳猜测数列的通项公式，再由数学归纳法证明，最后证明数列{3an+1-an}是等比数列；
（Ⅱ）由（Ⅰ）中的等比数列求得3an+1−an=3n+1，进一步求得an=18（3n+1−13n−1），取倒数后利用等比数列的前n项和证得不等式右边；
求出数列{an}的前n项和为Sn，代入不等式左边可得n2Sn=16n23n+2+13n−1−12然后利用1为媒介，证明对任意n∈N*时，n2Sn≤1a1+1a2+…+1an．
解答 证明：（Ⅰ）法一、由3an+12+3an2−10anan+1=3，
得3an2+3an−12−10an−1an=3（n≥2），
两式相减得，3（an+12−an−12）−10（an+1−an−1）an=0，
又an＜an+1，∴3（an+1+an-1）=10an，
即3an+1-an=3（3an-an-1）（n≥2），
∴{3an+1-an}是等比数列；
法二、由题知3a22+3−10a2=3，即a2=103=18（27−13），于是3a32+1003−1003a3=3，
则a3=919=18（81−19），
…
猜想an=18（3n+1−13n−1）（n∈N*），下面用数学归纳法证明．
当n=1时，a1=1=18（32−1），命题成立；
假设当n=k时，ak=18（3k+1−13k−1），
则当n=k+1时，有 3ak+12+364（3k+1−13k−1）2−108（3k+1−13k−1）ak+1=3，
即ak+12−108（3k−13k）ak+1+164（32k+2−82+132k−2）=0，
解得ak+1=18（3k+2−13k），或18（3k−13k−2），
又an＜an+1，∴ak+1=18（3k+2−13k），
即对任意n∈N*有，an=18（3n+1−13n−1），
∴3an+1−an=18（3n+3−13n−1−3n+1+13n−1）=3n+1．
故{3an+1-an}是等比数列；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知3an+1−an=3n+1，
即an+1=13an+3nan+1−3n+28=13（an−3n+18），
∴an−3n+18=3n−1（a1−98）=−3n−18，即an=18（3n+1−13n−1），
∴1an=83n+1−13n−1，则1an=88•3n−1+3n−1−13n−1，
故当n≥2时，1an＜88•3n−1=13n−1，
则1a1+1a2+…+1an＜1+13+132+…+13n−1=1−13n1−13=32（1−13n）＜32．
而n=1时，1a1=1＜32，
故对任意n∈N*有1a1+1a2+…+1an＜32．
Sn=18[32（1−3n）1−3−1−13n1−13]=116（3n+2+13n−1−12）．
故n2Sn=16n23n+2+13n−1−12，
当n≥2时，1a1+…+1an＞1，而当n=1时，1S1=1=1a1，当n=2时，4S2=41+103=1213＜1，
当n≥3时，n2Sn=16n28•3n+3n+13n−1−12＜16n28•3n=2n23n=2n2（1+2）n＜2n21+2n+2n（n−1）＜1，
即对任意n∈N*时，n2Sn≤1a1+1a2+…+1an．
综上，原不等式得证．
点评 本题考查了数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了利用数学归纳法证明与自然数有关的命题，考查了利用放缩法证明数列不等式，综合考查了学生的逻辑思维能力和计算能力，题目设置难度较大，综合性强．
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