题目内容
（2011•湖南模拟）已知函数f（x）=（a-1）x+aln（x-2），（a＜1）．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）设a＜0时，对任意x1、x2∈（2，+∞），
＜-4恒成立，求a的取值范围．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）设a＜0时，对任意x1、x2∈（2，+∞），
| f(x1)-f(x2) | x1-x2 |
分析：（1）对函数求导，讨论a的正负，利用导函数与函数单调性的关系进行求解即可．
（2）根据当a＜0时，f（x）在（2，+∞）上递减，不妨设任意x1，x2∈（2，+∞）且x1＜x2，将条件可变为f（x1）+4x1＞f（x2）+4x2，令g（x）=f（x）+4x，根据单调性将a分离出来，转化成a＜-3+
在（2，+∞）上恒成立，求出-3+
的最小值即可求出a的范围．
（2）根据当a＜0时，f（x）在（2，+∞）上递减，不妨设任意x1，x2∈（2，+∞）且x1＜x2，将条件可变为f（x1）+4x1＞f（x2）+4x2，令g（x）=f（x）+4x，根据单调性将a分离出来，转化成a＜-3+
| 3 |
| x-1 |
| 3 |
| x-1 |
解答：解：（1）∵f′（x）=（a-1）+
=
（1分）
①a＜0时，f′（x）=
∵
-2=
＜0，∴0＜
＜2，∴x＞2时，f′（x）＜0
∴f（x）在（2，+∞）上递减．（3分）
②a=0时，f（x）=-x，在（2，+∞）上递减．（4分）
③0＜a＜1时，
＞2
∴x∈（2，
）时，f′（x）＞0，f（x）在（2，
）上递增；
当x∈（
，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）在（
，+∞）上递减；（6分）
∴综上所述，当a≤0时，f（x）在（2，+∞）上递减，
当0＜a＜1时，f（x）在（2，
）上递增，在（
，+∞）上递减．（7分）
（2）当a＜0时，f（x）在（2，+∞）上递减；
不妨设任意x1，x2∈（2，+∞）且x1＜x2
＜-4可变为f（x1）-f（x2）＞-4（x1-x2）
f（x1）+4x1＞f（x2）+4x2
∴令g（x）=f（x）+4x，∴g（x）在（2，+∞）上递减
∴g′（x）＜0在（2，+∞）上恒成立
∴a-1+
+4＜0在（2，+∞）上恒成立．
a＜-3+
在（2，+∞）上恒成立
而-3＜-3+
＜0，∴a≤-3．（13分）
| a |
| x-2 |
| (a-1)x-a+2 |
| x-2 |
①a＜0时，f′（x）=
(a-1)(x-
| ||
| x-2 |
∵
| a-2 |
| a-1 |
| -a |
| a-1 |
| a-2 |
| a-1 |
∴f（x）在（2，+∞）上递减．（3分）
②a=0时，f（x）=-x，在（2，+∞）上递减．（4分）
③0＜a＜1时，
| a-2 |
| a-1 |
∴x∈（2，
| a-2 |
| a-1 |
| a-2 |
| a-1 |
当x∈（
| a-2 |
| a-1 |
| a-2 |
| a-1 |
∴综上所述，当a≤0时，f（x）在（2，+∞）上递减，
当0＜a＜1时，f（x）在（2，
| a-2 |
| a-1 |
| a-2 |
| a-1 |
（2）当a＜0时，f（x）在（2，+∞）上递减；
不妨设任意x1，x2∈（2，+∞）且x1＜x2
| f(x1)-f(x2) |
| x1-x2 |
f（x1）+4x1＞f（x2）+4x2
∴令g（x）=f（x）+4x，∴g（x）在（2，+∞）上递减
∴g′（x）＜0在（2，+∞）上恒成立
∴a-1+
| a |
| x-2 |
a＜-3+
| 3 |
| x-1 |
而-3＜-3+
| 3 |
| x-1 |
点评：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及不等式恒成立问题，同时考查了分类讨论的思想、转化与划归的思想，属于中档题．
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