题目内容

(2011•湖南模拟)设函数f(x)=x2+3,对任意x∈[1,+∞),f(
3
2
x
m
)+m2f(x)≥f(x-1)+3f(m)恒成立,则实数m的取值范围是
(-∞,-
6
]∪[-
3
,0)∪(0,
3
]∪[
6
,+∞)
(-∞,-
6
]∪[-
3
,0)∪(0,
3
]∪[
6
,+∞)
分析:先把原不等式整理后转化为g(x)=(
18
m2
+m2-1)x2+2x-10≥0对任意x∈[1,+∞)恒成立,再利用二次函数恒成立的求解方法即可求实数m的取值范围.
解答:解:原不等式f(
3
2
x
m
)+m2f(x)≥f(x-1)+3f(m)整理得(
18
m2
+m2-1)x2+2x-10≥0,
即可以转化为g(x)=(
18
m2
+m2-1)x2+2x-10≥0对任意x∈[1,+∞)恒成立.
18
m2
+m2≥2
18
m2
m2
=6
2
>1,即函数g(x)开口向上,对称轴为负数,所以在x∈[1,+∞)上递增.
故只须g(1)≥0⇒
18
m2
+m2-9≥0⇒(m22-9m2+18≥0⇒m2≥6或m2≤3.⇒m≥
6
或-
3
≤m<0或0<m≤
3
或m≤-
6

故答案为:(-∞,-
6
]∪[-
3
,0)∪(0,
3
]∪[
6
,+∞).
点评:本题主要考查二次函数的恒成立问题.二次函数的恒成立问题分两类,一是大于0恒成立须满足开口向上,且判别式小于0,二是小于0恒成立须满足开口向下,且判别式小于0.
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