题目内容
（2011•湖南模拟）设函数f（x）=x2+3，对任意x∈[1，+∞），f（
）+m2f（x）≥f（x-1）+3f（m）恒成立，则实数m的取值范围是
3
| ||
| m |
（-∞，-
]∪[-
，0）∪（0，
]∪[
，+∞）
| 6 |
| 3 |
| 3 |
| 6 |
（-∞，-
]∪[-
，0）∪（0，
]∪[
，+∞）
．| 6 |
| 3 |
| 3 |
| 6 |
分析：先把原不等式整理后转化为g（x）=（
+m2-1）x2+2x-10≥0对任意x∈[1，+∞）恒成立，再利用二次函数恒成立的求解方法即可求实数m的取值范围．
| 18 |
| m2 |
解答：解：原不等式f（
）+m2f（x）≥f（x-1）+3f（m）整理得（
+m2-1）x2+2x-10≥0，
即可以转化为g（x）=（
+m2-1）x2+2x-10≥0对任意x∈[1，+∞）恒成立．
∵
+m2≥2
=6
＞1，即函数g（x）开口向上，对称轴为负数，所以在x∈[1，+∞）上递增．
故只须g（1）≥0⇒
+m2-9≥0⇒（m2）2-9m2+18≥0⇒m2≥6或m2≤3．⇒m≥
或-
≤m＜0或0＜m≤
或m≤-
．
故答案为：（-∞，-
]∪[-
，0）∪（0，
]∪[
，+∞）．
3
| ||
| m |
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| m2 |
即可以转化为g（x）=（
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| m2 |
∵
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| m2 |
|
| 2 |
故只须g（1）≥0⇒
| 18 |
| m2 |
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| 3 |
| 3 |
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故答案为：（-∞，-
| 6 |
| 3 |
| 3 |
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点评：本题主要考查二次函数的恒成立问题．二次函数的恒成立问题分两类，一是大于0恒成立须满足开口向上，且判别式小于0，二是小于0恒成立须满足开口向下，且判别式小于0．
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