Question

（2011•湖南模拟）巳知⊙C的方程为（x-1）²+（y-1）²=1，直线L：4x+3y+m=0（其中m＜-2）与x、y轴的正半轴分别相交于A、B两点，点P（x，y）（xy＞0）是线段AB上动点，如果直线L与圆C相切，则m的值等于

-12

；log₃x+log₃y的最大值等于

1

．

Answer 1

分析：由圆的方程找出圆心坐标和圆的半径r，根据直线l与圆C相切，得到圆心到直线l的距离等于圆的半径，列出关于m的方程，求出方程的解即可得到m的值；
由求出的m的值代入直线l的方程确定出直线l，然后用含x的式子表示出y，把表示出的y代入xy得到一个二次函数，然后利用二次函数求最值的方法求出xy的最大值，然后利用对数函数的运算法则把所求的式子化简后，根据3大于1得到对数函数为增函数，把xy的最大值代入即可求出所求式子的最大值．

解答：解：由圆的方程得到圆心C（1，1），半径r=1，
因为直线l与圆C相切，所以圆心到直线l的距离d=r=1，即

|m+7|

5

=1，
解得：m=-2（与已知m＜-2矛盾，舍去）或m=-12，
所以满足题意的m的值为-12；
由3＞1，得到对数函数为增函数，
由4x+3y-12=0，得到y=-

4

3

x+4，所以xy=-

4

3

x²+4x，
当x=-

4

2×(- 4 3 )

即x=

3

2

＞0，y=2＞0时，xy的最大值为3，
则log₃x+log₃y的最大值为log₃^xy=log₃³=1．
故答案为：-12；1．

点评：此题考查学生掌握直线与圆相切时满足的条件，灵活运用点到直线的距离公式化简求值，掌握二次函数求最大值的方法，是一道中档题．