Question

已知函数y=sin2x+2sinxsin(

π

2

-x)+3sin2(

3π

2

-x)
（1）若tanx=

1

2

，求y的值；
（2）若x∈[0，

π

2

]，求y的值域．

Answer 1

分析：（1）由题意，由于已知tanx=

1

2

，故可先由诱导公式对函数进行化简，再由商数关系将函数变为关于tanx的代数式，将正切值代入计算求y值；
（2）由题意，可先对函数解析式进行化简，由三角恒等变换公式可将函数式变为y=2+

2

sin(2x+

π

4

)，再根据x∈[0，

π

2

]易求得函数的值域．

解答：解：（1）y=sin2x+2sinxsin(

π

2

-x)+3sin2(

3π

2

-x)
=sin²x+2sinxcosx+3cos²x
=

sin2x+2sinxcosx+3cos2x

sin2x+cos2x

=

tan2x+2tanx+3

tan2x+1

∵tanx=

1

2

∴y=

1 4 +1+3

1 4 +1

=

17

5

（2）由（1）y=sin2x+2sinxsin(

π

2

-x)+3sin2(

3π

2

-x)
=sin²x+2sinxcosx+3cos²x
=2+sin2x+cos2x=2+

2

sin(2x+

π

4

)
由于x∈[0，

π

2

]，所以2x+

π

4

∈[

π

4

，

5π

4

]
所以sin(2x+

π

4

)∈[-

2

2

，1]
∴y的值域是[1，2+

2

]

点评：本题考查三角恒等变换的应用，考查了两角和的正弦函数，正、余弦的二倍角公式，同角三角函数的基本关系，正弦型复合函数的值域的求法，本题涉及到的公式较多，体现了三角函数做题的特点，公式多，变形灵活，解题的关键是灵活运用三角函数公式进行化简变形，然后再求值或求值域，本题考查了转化的思想及运用公式进行计算的能力，是三角函数中有一定难度的题目．