题目内容

19.P是圆x2+y2=4上任意一点,P在x轴上的射影为M点,N是PM的中点,点N的轨迹为曲线C,曲线C1的方程为:
x2=8(y-m)(m>0)
(1)求轨迹C的方程;
(2)若曲线C与曲线C1只有一个公共点,求曲线C1的方程;
(3)在(2)的条件下,求曲线C和曲线C1都只有一个交点的直线l方程.

分析 (1)设出N的坐标,利用中点坐标公式求出P点的坐标,代入圆的方程后整理即可得到答案;
(2)将(0,1)代入x2=8(y-m),可得m=1,即可求曲线C1的方程;
(3)在(2)的条件下,可得曲线C和曲线C1都只有一个交点的直线l方程.

解答 解:(1)设N(x,y),则由中点坐标公式得P(x,2y),
因为P是圆x2+y2=4上任意一点,
所以x2+4y2=4,
整理得,$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$.
(2)将(0,1)代入x2=8(y-m),可得m=1,
所以曲线C1的方程为x2=8(y-1);
(3)在(2)的条件下,设与曲线C和曲线C1都只有一个交点的直线l方程为y=kx+m;
分别与C的方程:$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$以及曲线C1的方程x2=8(y-1)联立,得到:
2k2+m-1=0和4k2-m2+1=0;
解得m=1或-3;
当m=1时,k=0,
当m=-3时,k=±$\sqrt{2}$;
所以:
与曲线C和曲线C1都只有一个交点的直线l方程为:y=1或y=±$\sqrt{2}$x-3.

点评 本题考查了轨迹方程问题,考查了代入法求轨迹方程,是中档题.

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