Question

（2011•昌平区二模）已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左焦点为F（-1，0），离心率为

2

2

，过点F的直线l与椭圆C交于A、B两点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设过点F不与坐标轴垂直的直线交椭圆C于A、B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意可知：c=1，a²=b²-c²，e=

c

a

=

2

2

，由此能够求出椭圆的方程．
（II）设直线AB的方程为y=k（x+1）（k≠0），由

y=k(x+1) x2 2 +y2=1

，得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0．由直线AB过椭圆的左焦点F，记A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中点N（x₀，y₀），x₁+x₂=

-4k2

1+2k2

，x₀=

x1+x2

2

，y0=

y1+y2

2

，垂直平分线NG的方程为y-y₀=-

1

k

(x-x0)，由此能求出点G横坐标的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）由题意可知：c=1，a²=b²-c²，e=

c

a

=

2

2

…（2分）
解得：a=

2

，b=1（3分）
故椭圆的方程为：

x2

2

+y2=1（4分）
（II）设直线AB的方程为y=k（x+1）（k≠0），（5分）
联立，得

y=k(x+1) x2 2 +y2=1

，
整理得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0（7分）
∵直线AB过椭圆的左焦点F∴方程有两个不等实根．（8分）
记A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中点N（x₀，y₀）
则x₁+x₂=

-4k2

1+2k2

（9分）
x₀=

x1+x2

2

，y0=

y1+y2

2

（10分）
垂直平分线NG的方程为y-y₀=-

1

k

(x-x0)，（11分）
令y=0，得x_G=x₀+ky₀=-

2k2

2k2+1

+

k2

2k2+1

=-

k2

2k2+1

=-

1

2

+

1

4k2+2

．（12分）
∵k≠0，∴-

1

2

＜xG＜0（13分）
∴点G横坐标的取值范围为（-

1

2

，0）．（14分）

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，综合性强，是高考的重点，易错点是知识体系不牢固．本题具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．