题目内容

14.已知数列{an}满足an=an-1-an-2(n≥3,n∈N*),它的前n项和为Sn.若S9=6,S10=5,则S2015的值为2.

分析 an=an-1-an-2(n≥3,n∈N*),可得an+1=an-an-1(n≥3,n∈N*),于是:an+3=-an,即an+6=an.由于S9=6,S10=5,可得a10=a4=-a1=-1,进而得出a3.即可得出a1+a2+…+a6=0.S2015=S335×6+5=a1+a2+…+a5=-a6=a3

解答 解:∵an=an-1-an-2(n≥3,n∈N*),
∴an+1=an-an-1(n≥3,n∈N*),
即an+1=an-an-1=an-1-an-2-an-1=-an-2
∴an+3=-an,即an+6=an
即数列{an}是周期为6的周期数列,.
∵S9=6,S10=5,
∴a10=S10-S9=5-6=-1,
则a10=a4=-a1=-1,
又a3=a2-a1,a4=a3-a2
∴a4-a3=a3-2a2+a1
∴a3-a2+1=0,
又a1+a2+a3=6,
∴a3=2.
又a1+a4=a2+a5=a3+a6=0,
∴a1+a2+…+a6=0.
∴S2015=S335×6+5=a1+a2+…+a5=-a6=a3=2.
故答案为:2.

点评 本题考查了递推式的应用、数列的周期性,考查了变形能力、推理能力与计算能力,属于中档题

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