题目内容
【题目】抛物线的焦点为
,过点
的直线交抛物线于
,
两点.
(1)为坐标原点,求证:
;
(2)设点在线段
上运动,原点
关于点
的对称点为
,求四边形
面积的最小值
【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)时,四边形
的面积最小,最小值是
.
【解析】
试题(1)先利用已知条件设出直线AB的方程,与抛物线联立方程组,然后结合韦达定理表示出向量的数量积,进而证明。
(2)根据由点与原点
关于点
对称,得
是线段
的中点,从而点
与点
到直线
的距离相等,得到四边形
的面积等于
,结合三角形面积公式得到。
(Ⅰ)解:依题意,设直线
方程为
. …………1分
将直线的方程与抛物线的方程联立,消去
得
.……3分
设,
,所以
,
.
=1,
故.………………6分
(Ⅱ)解:由点与原点
关于点
对称,得
是线段
的中点,从而点
与点
到直线
的距离相等,所以四边形
的面积等于
.……8分
因为……………9分
,…………11分
所以时,四边形
的面积最小,最小值是
. ……12分
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