Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥面ABCD，四边形ABCD是菱形，AC=6，BD=6

3

，E是PB上任意一点
（1）求证：AC⊥DE；
（2）当△AEC面积的最小值是9时，求PD的长
（3）在（2）的条件下，在线段BC上是否存在点G，使EG与面PAB所成角的正切值为2？若存在，求出BG的值，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据几何体的线线、线面关系利用线面垂直的判定定理得到AC⊥面PBD，进而由线面垂直转化为线线垂直．
（2）设AC与BD交点为F，由（1）知，AC⊥EF，结合平面知识当△AEC面积的最小值是9时，EF取得最小值3，进而根据三角形相似得到答案．
（3）建立空间坐标系，分别求出平面的法向量与直线所在的向量，再利用向量之间的运算求出两个向量的夹角，进而转化为线面角得到答案．

解答：解：（1）∵PD⊥面ABCD，∴PD⊥AC
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC
∴AC⊥面PBD
∴AC⊥DE
（2）设AC与BD交点为F，由（1）知，
AC⊥EF
当△AEC面积的最小值是9时，
EF取得最小值3
在△PBD中，当FE⊥PB时，EF最小，此时EB=

BF2-EF2

=3

2

由△BEF∽△BDP得

EF

EB

=

PD

BD

，解得PD=3

6

（3）以点F为坐标原点，FB，FC所在直线分别为x轴、y轴，建立空间直角坐标系，
则P(-3

3

，0，3

6

)，B(3

3

，0，0)

EB

=

1

3

PB

=

1

3

(6

3

，0，3

6

)=(2

3

，0，

6

)
而

BC

=(-3

3

，3，0)，

BG

=t

BC

=(-3

3

t，3t，0)
∴

EG

=

EB

+

BG

=(2

3

-3

3

t，3t，-

6

)
而面PAB的法向量

n

=(

2

，-

6

，2)
由已知得cos＜

n

，

EG

＞=

2

5

，解得t=

2

3

∴存在靠近点C的三等分点G满足题意

点评：解决此类问题的关键是熟练掌握几何体的结构特征，进而得到线线、线面关系，也有利于建立空间坐标系利用向量求解线面角；此题考查学生的空间想象能力，逻辑思维能力，计算能力，转化思想，是中档题．