Question

从集合{1，2，3，4，5}的所有非空子集中，等可能地取出一个．
（Ⅰ）记性质r：集合中的所有元素之和为10，求所取出的非空子集满足性质r的概率；
（Ⅱ）记所取出的非空子集的元素个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望Eξ

Answer 1

【答案】分析：（1）集合{1，2，3，4，5}的所有非空子集有2⁵-1个，等可能地取出一个有31种结果，而满足条件集合中的所有元素之和为10的通过列举有3个，根据古典概型公式得到结果．
（2）所取出的非空子集的元素个数为ξ，由题意知ξ的可能取值是1、2、3、4、5，类似于第一问得到各值对应的概率，写出分布列，算出期望．
解答：解：记“所取出的非空子集满足性质r”为事件A
基本事件数是C₅¹+C₅²+C₅³+C₅⁴+1=31
事件A包含的事件是{1、4、5}，{2、3、5}，{1、2、3、4}
∴P（A）=，
（2）由题意知ξ的可能取值是1、2、3、4、5，
ξ的分布列是：
又P（ξ=1）==，
P（ξ=2）==，
P（ξ=3）==
P（ξ=4）==
P（ξ=5）==

∴Eξ=1×=
点评：本题这种类型是近几年高考题中经常出现的，考查离散型随机变量的分布列和期望，大型考试中理科考试必出的一道问题．本题还考到了集合的子集个数问题，一个含有n个元素的集合的子集个数是2ⁿ．