题目内容
已知直线l经过点P(3,1),且被两平行直线l1:x+y+1=0和l2:x+y+6=0截得的线段之长为5,求直线l的方程.
x=3或y=1
(解法1)若直线l的斜率不存在,则直线l的方程为x=3,此时与l1、l2的交点分别为A′(3,-4)和B′(3,-9),截得的线段AB的长=5,符合题意.
若直线l的斜率存在,则设直线l的方程为y=k(x-3)+1.
解方程组,得A,
解方程组,得B.
由=5,得=52.
解之,得k=0,即所求的直线方程为y=1.综上可知,所求l的方程为x=3或y=1.
(解法2)由题意,直线l1、l2之间的距离为d==,且直线l被平行直线l1、l2所截得的线段AB的长为5(如图).
设直线l与直线l1的夹角为θ,则sinθ=,故θ=45°.
由直线l1:x+y+1=0的倾斜角为135°,知直线l的倾斜角为0°或90°.又直线l过点P(3,1),故直线l的方程为x=3或y=1.
(解法3)设直线l与l1、l2分别相交于A(x1,y1)、B(x2,y2),则x1+y1+1=0,x2+y2+6=0.
两式相减,得(x1-x2)+(y1-y2)=5.①
又(x1-x2)2+(y1-y2)2=25,②
联立①②,可得
由上可知,直线l的倾斜角分别为0°或90°.
故所求直线方程为x=3或y=1.
若直线l的斜率存在,则设直线l的方程为y=k(x-3)+1.
解方程组,得A,
解方程组,得B.
由=5,得=52.
解之,得k=0,即所求的直线方程为y=1.综上可知,所求l的方程为x=3或y=1.
(解法2)由题意,直线l1、l2之间的距离为d==,且直线l被平行直线l1、l2所截得的线段AB的长为5(如图).
设直线l与直线l1的夹角为θ,则sinθ=,故θ=45°.
由直线l1:x+y+1=0的倾斜角为135°,知直线l的倾斜角为0°或90°.又直线l过点P(3,1),故直线l的方程为x=3或y=1.
(解法3)设直线l与l1、l2分别相交于A(x1,y1)、B(x2,y2),则x1+y1+1=0,x2+y2+6=0.
两式相减,得(x1-x2)+(y1-y2)=5.①
又(x1-x2)2+(y1-y2)2=25,②
联立①②,可得
由上可知,直线l的倾斜角分别为0°或90°.
故所求直线方程为x=3或y=1.
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