Question

已知函数f（x）=sin（θ+x）+sin（θ-x）-2sinθ，θ∈(0 ， 

3

2

π)，且tan2θ=-

3

4

，若对任意x∈R，都有f（x）≥0成立，求cosθ的值．

Answer 1

分析：首先对所给的三角函数式进行整理，得到最简形式，根据有对任意x∈R，都有f（x）≥0成立这种恒成立问题，分析两个因式的符号，根据符号确定角的范围，根据同角的三角函数关系得到结果．

解答：解：依题意f（x）=2sinθcosx-2sinθ=2sinθ（cosx-1）
有对任意x∈R，都有f（x）≥0成立
∵cosx-1≤0
∴sinθ≤0
∴π≤θ＜

3

2

π
由tan2θ=-

3

4

得tanθ=3
∴cosθ=-

10

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即要求的三角函数值是-

10

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点评：本题考查函数恒成立问题，本题解题的关键是利用函数的恒成立确定两个因式的符号，从而确定角的范围，本题是一个比较综合的题目．