Question

13．如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知AB=AA₁=a，BC=$\sqrt{2}$a，M是AD的中点．
（1）求证：AD∥平面A1BC；
（2）求证：平面A₁MC⊥平面A₁BD₁．

Answer 1

分析 （1）以D点为原点，分别以DA，DC，DD₁为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系D-xyz，求出平面A₁BC的法向量，证明$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{AD}$=0，即可证明AD∥平面A₁BC．
（2）求出平面A₁MC的法向量、平面A₁BD₁的法向量，即可证明平面A₁MC⊥平面A₁BD₁．

解答 证明：以D点为原点，分别以DA，DC，DD₁为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系D-xyz．
（1）$\overrightarrow{BC}$=（-$\sqrt{2}$a，0，0），$\overrightarrow{B{A}_{1}}$=（0，-a，a），
设平面A₁BC的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\sqrt{2}ax=0}\\{-ay+az=0}\end{array}\right.$
∴$\overrightarrow{n}$=（0，$\sqrt{2}$a²，$\sqrt{2}$a²）
又∵$\overrightarrow{AD}$=（-$\sqrt{2}$a，0，0），
∴$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{AD}$=0，
∴$\overrightarrow{AD}$⊥$\overrightarrow{n}$，即AD∥平面A₁BC．
（2）$\overrightarrow{MC}$=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，0，a），$\overrightarrow{M{A}_{1}}$=（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，a，0），
设平面A₁MC的法向量为：$\overrightarrow{m}$=（x′，y′，z′）
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{\sqrt{2}}{2}ax′+az′=0}\\{-\frac{\sqrt{2}}{2}ax′+ay′=0}\end{array}\right.$
∴$\overrightarrow{m}$=（a²，$\frac{\sqrt{2}}{2}$a²，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$a²）
又∵$\overrightarrow{B{D}_{1}}$=（-$\sqrt{2}$a，-a，a），$\overrightarrow{B{A}_{1}}$=（0，-a，a），平面A₁BD₁的法向量$\overrightarrow{n}$=（0，$\sqrt{2}$a²，$\sqrt{2}$a²），
∴$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=0，
∴$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$，即平面A₁MC⊥平面A₁BD₁．

点评 本题考查线面平行，面面垂直，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．