题目内容
【题目】如图,已知梯形中, , , ,四边形为矩形, ,平面平面.
(Ⅰ)求证: 平面;
(Ⅱ)求平面与平面所成锐二面角的余弦值;
(Ⅲ)在线段上是否存在点,使得直线与平面所成角的正弦值为,若存在,求出线段的长;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)见解析(2)(3)
【解析】试题分析:(1)利用空间向量证明线面平行,一般转化为对应平面法向量与直线垂直,先建立空间直角坐标系,设立各点坐标,利用方程组解出平面法向量,根据向量数量积证明垂直,最后根据线面平行判定定理证明,(2)求二面角,一般利用空间向量进行求解,先根据条件建立空间直角坐标系,设立各点坐标,利用方程组解出各面法向量,利用向量数量积求法向量夹角,最后根据二面角与向量夹角之间相等或互补
关系求解(3)研究线面角,一般利用空间向量进行列式求解参数,先根据条件建立空间直角坐标系,设立各点坐标,利用方程组解出各面法向量,利用向量数量积求法向量夹角,最后根据线面角与向量夹角之间互余关系列式求解参数.
试题解析:(Ⅰ)证明:取为原点, 所在直线为轴, 所在直线为轴建立空间直角坐标系,如图,则, , , ,
∴, ,
设平面的法向量,
∴不妨设,
又,
∴,
∴,
又∵平面,
∴平面.
(Ⅱ)解:∵, ,
设平面的法向量,
∴不妨设,
∴,
∴平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
(Ⅲ)设 , ,
∴,
∴,
又∵平面的法向量,
∴,
∴,
∴或.
当时, ,∴;
当时, ,∴.
综上, .
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