Question

19．若不等式2x²+（1-a）y²≥（3+a）xy（x＞0，y＞0）恒成立．则实数a的最大值为4$\sqrt{3}$-7．

Answer 1

分析 化简不等式可得a≤$\frac{2{x}^{2}-3xy+{y}^{2}}{xy+{y}^{2}}$，令$\frac{2{x}^{2}-3xy+{y}^{2}}{xy+{y}^{2}}$=$\frac{2（\frac{x}{y}）^{2}-3\frac{x}{y}+1}{\frac{x}{y}+1}$，再令b=$\frac{x}{y}$＞0，则$\frac{2（\frac{x}{y}）^{2}-3\frac{x}{y}+1}{\frac{x}{y}+1}$=$\frac{2{b}^{2}-3b+1}{b+1}$，令f（b）=$\frac{2{b}^{2}-3b+1}{b+1}$=2（b+1）+$\frac{6}{b+1}$-7，从而利用基本不等式求最小值，从而解得．

解答 解：∵2x²+（1-a）y²≥（3+a）xy，
∴2x²+y²-3xy≥a（y²+xy），
又∵x＞0，y＞0，
∴a≤$\frac{2{x}^{2}-3xy+{y}^{2}}{xy+{y}^{2}}$，
令$\frac{2{x}^{2}-3xy+{y}^{2}}{xy+{y}^{2}}$=$\frac{2（\frac{x}{y}）^{2}-3\frac{x}{y}+1}{\frac{x}{y}+1}$，
令b=$\frac{x}{y}$＞0，则$\frac{2（\frac{x}{y}）^{2}-3\frac{x}{y}+1}{\frac{x}{y}+1}$=$\frac{2{b}^{2}-3b+1}{b+1}$，
令f（b）=$\frac{2{b}^{2}-3b+1}{b+1}$=2（b+1）+$\frac{6}{b+1}$-7，
∵2（b+1）+$\frac{6}{b+1}$≥4$\sqrt{3}$，
（当且仅当2（b+1）=$\frac{6}{b+1}$，即b=$\sqrt{3}$-1时，等号成立），
∴2（b+1）+$\frac{6}{b+1}$-7≥4$\sqrt{3}$-7，
∵a≤$\frac{2{x}^{2}-3xy+{y}^{2}}{xy+{y}^{2}}$恒成立，
∴a≤4$\sqrt{3}$-7，
故答案为：4$\sqrt{3}$-7．

点评 本题考查了不等式的化简与恒成立问题的化简与应用，同时考查了函数与不等式的关系应用．