Question

设命题q：在x∈（0，2]内，不等式x²-

x

m

+3≥0恒成立；命题q：方程

x2

m-3

+

y2

5-m

=1表示双曲线．
（1）若命题q为真命题，求实数m的取值范围；
（2）若命题：“p∨q”为真命题，且“p∧q”为假命题，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用求函数f（x）=x²-

x

m

+3，在x∈（0，2]时的最小值的方法，分类讨论解答即可；
（2）先求出命题q为真命题时，m的取值范围，再根据复合命题真值表求解即可．

解答：解：（1）设函数f（x）=x²-

x

m

+3，在x∈（0，2]时的最小值为g（m），
①当对称轴x=

1

2m

≤0时，即m＜0时，∵f（0）=3＞0，∴不等式x²-

x

m

+3≥0恒成立；
②当x=

1

2m

≥2时，即0＜m≤

1

4

时，g（m）=f（2）=4-

2

m

+3=7-

2

m

≥0?m≥

2

7

或m＜0，
∴此时m∈∅；
③当0＜

1

2m

＜2，即m＞

1

4

时，g（m）=3-

1

4m2

≥0?m≥

3

6

．
 综上：命题q为真命题，实数m的取值范围是m＜0或m≥

3

6

．
（2）命题q为真命题的m的取值范围是（m-3）（5-m）＜0?m＞5或m＜3，
∵“p∨q”为真命题，且“p∧q”为假命题，根据复合命题真值表得：命题P、命题q一真一假，

故m的取值范围是：3≤m≤5或0≤m＜

3

6

．

点评：本题借助考查复合命题的真假判定，考查不等式的恒成立问题，不等式的恒成立问题可结合函数，利用数形结合思想来分析解答．